<< < предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 / 10 9 10 следующая > >>

Глава 11. Определенный интеграл

Дата: 2025-04-30; Просмотры: 25

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

11.1.Понятие определенного интеграла и его свойства

Пусть – непрерывная на отрезке неотрицательная функция.

Определим площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной прямыми и графиком функции

Разобьем на n частей точками , выберем на каждом из частичных отрезков по произвольной точке определим значение функции (в этих точках) и составим сумму: .

Эта сумма равна сумме площадей прямоугольников. Устремим Если при этом , и не зависит от способа разбиения и выбора точек , то величина называется площадью данной криволинейной трапеции: .

Каждая криволинейная трапеция, соответствующая непрерывной функции ,имеет площадь .

Указанный предел называется определённым интегралом и обозначается: .

Числа и называются нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральная функция, – переменная интегрирования.

Определенный интеграл – это число.

Вычисление определённого интеграла по определению можно осуществить с помощью компьютера, однако на практике используют формулу Ньютона – Лейбница.

Пусть задана непрерывная на функция и пусть – ее первообразная. Тогда или – определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом: – функция .

Если – первообразная для , то и по формуле Ньютона – Лейбница: . Дифференцируем: – производная по верхнему пределу равна подынтегральной функции.

Свойства определённого интеграла

1. – не зависит от значения переменной интегрирования.

2. .

3. .

4.Для любых чисел a, b, c: .

5. .

6. .

7. Если

8. – теорема о среднем.

Пример: .

11.2. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле

Пусть и – две непрерывные дифференцируемые функции на отрезке , тогда

. Проинтегрируем равенство от a до b:

, имеем: – формула интегрирования по частям.

Пример.

Замена переменной в определённом интеграле

Пусть дан интеграл , где непрерывная функция на . Введем новую переменную по формуле . Если и непрерывны на непрерывна на , то: .

11.3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция определена и непрерывна при всех .

Тогда несобственный интеграл . Если предел существует, то интеграл существует или сходится, если предел не существует, то интеграл расходится (не существует), т.е. не имеет конечного значения.

Геометрический смысл: выражает площадь бесконечной области, заключенной между линиями .

Аналогично, .

Для последнего равенства должны существовать оба интеграла, с – число.

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл: .

Пример 2. При каких значениях параметра α интеграл сходится и при каких расходится?

Пример 3.

Если требуется установить, сходится ли данный интеграл или расходится, удобно применять теоремы:

1. Если для всех выполняется неравенство и если сходится, то тоже сходится и .

2. Если для всех : причем расходится, то и расходится.

3. Если сходится, то и сходится.

Пример 4. Сходится ли ?

При , поэтому (т.1) тоже сходится и < 1.

Пример 5. Исследовать .

. Но – расходится, поэтому рассматриваемый интеграл тоже расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость.

Подынтегральная функция знакопеременная. Но , значит, интеграл сходится, и по т.3 сходится и .

11.4. Несобственные интегралы от функций, имеющих разрыв

Пусть функция определена и непрерывна при , а при функция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя говорить об , как о пределе интегральной суммы, поскольку этот предел может не существовать.

Интеграл Если предел существует, то интеграл сходится, иначе – расходится.

Если функция имеет разрыв при , то – аналогично, если предел существует, то интеграл сходится, иначе – расходится.

Если имеет разрыв в точке внутри отрезка , то – существует, если существуют оба интеграла в правой части.

Пример 1. Исследовать сходимость .

– сходится.

Пример 2. – интеграл расходится.

Геометрические приложения определенного интеграла

11.5. Вычисление площади плоской фигуры

а) Площадь плоской фигуры , если

Если на интервале интегрирования, то рассматривают интеграл от модуля (или изменяют знак). или .

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком и осью абсцисс, если .

Более удобной является формула: где .

f₂(x)

f₁(x)

0 х

Пример 2. Найти площадь, ограниченной параболой и прямой .

б) Пусть функция задана в параметрической форме: .

Пример 3. Вычислить площадь одной арки циклоиды .

0 x

в) Если кривая задана в полярных координатах: .

Разобьем данную площадь радиус – векторами на n частей. Пусть углы между радиус – векторами равны Площадь сектора: .

Площадь: .

Пример 4. Найти S, ограниченную кардиоидой: .

Вычислить половину площади:

11.6. Длина дуги кривой

а) Пусть кривая задана уравнением . Возьмем на точки , и проведем хорды, которые обозначим . Получим ломанную , вписанную в дугу . Длина ломаной: . Длина дуги – предел: . Если на отрезке непрерывны, то этот предел существует. Пусть , тогда . По теореме Лагранжа , , по условию, и – непрерывны, поэтому существует предел интегральной суммы, который равен определенному интегралу:

Пример. Найти длину дуги кривой .

б) Если кривая задана параметрически: то длина дуги

в) Пусть кривая задана в полярных координатах: тогда .

;

тогда .

Пример. Найти длину дуги кардиоиды: .

; ;

длина дуги: .

11.7.Вычисление объема и площади поверхности вращения.

Пусть имеется тело, для которого известна площадь сечения, перпендикулярного оси ох, т.е. . Проведем плоскости, перпендикулярные оси ох. Они разобьют тело на слои, (цилиндр), тогда . Переходя к пределу: .