<< < предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 / 10 8 9 10 следующая > >>

Глава 10. Неопределенный интеграл

Дата: 2025-04-30; Просмотры: 2

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

10.1. Первообразная и неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование

Основная задача дифференциального исчисления – отыскание производной заданной функции. Однако имеется обратная задача: по данной найти , производная которой равна , .

Лемма: Функция, производная которой на некотором промежутке равна нулю, является константой.

по т. Лагранжа

, .

Теорема. Если – первообразная для функции на некотором промежутке X , то любая другая первообразная имеет вид .

Определение. Если функция – первообразная для , то множество функций называется неопределенным интегралом от и обозначается: , где – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Восстановление функции по ее производной или отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием.

Свойства неопределённого интеграла:

Табличные интегралы:

Непосредственное интегрирование

Вычисление интеграла путем использования таблиц и основных свойств называется непосредственным интегрированием.

Примеры.

10.2. Метод подстановки. Интегрирование по частям

Если известно, что .

Это вытекает из правила дифференцирования сложной функции.

Примеры:

Интегрирование по частям

Нет формулы, выражающий интеграл от произведения функций через интеграл от сомножителей. Интеграл от элементарной функции не всегда является элементарной функцией.

Пусть имеются дифференцируемые функции и : или, интегрируя, получим: – формула интегрирования по частям.

При использовании формулы интегрирования по частям необходимо выбрать функцию, тогда оставшаяся часть будет дифференциалом функции , т.е. . Можно указать следующие случаи:

1. .

В этом случае последовательное дифференцирование уменьшает показатель до нуля. Наиболее простой случай, когда .

В этом случае дифференцирование указанных функций обычно упрощает нахождение интеграла.

Примеры:

2.)

3.)

4.)

, тогда

10.3. Интегрирование рациональных функций. Разложение на простейшие дроби

Рассмотрим рациональную функцию вида , где и – многочлены. Многочлен – это выражение вида .

Если степень многочлена в числителе равна или больше степени многочлена в знаменателе, то дробь называется неправильной и необходимо выполнить деление:

, где – многочлен.

Пример

а) .

б) .

Далее будем рассматривать правильные дроби (т.е. старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя), т. к. интегрирование функции – табличное. Если – корни уравнения , то многочлен можно представить в виде , где – коэффициент при старшей степени многочлена. Выражения называют линейным множителем.

Среди корней могут быть и комплексные, в этом случае элементарными множителями будут выражения . Кроме того, корни могут быть кратными (одинаковыми). Окончательно имеем: где .

В высшей алгебре доказывается, что правильную дробь можно представить в виде простейших дробей: Это разложение рациональной функции на простейшие дроби.

10.4. Интегрирование простейших дробей

Чтобы определить числа , умножим обе части разложения на и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой части равенства.

Пример: ;

Алгоритм.

1.Выделить правильную дробь.

2.Знаменатель разложить на элементарные множители.

3.Найти коэффициенты в разложении на простейшие дроби.

После этого задача сводится к нахождению интегралов 4 типов:

Вычислим интеграл типа III.

Выделим в знаменателе полный квадрат:

. Используем подстановку, .

Пример:

Вычисление интеграла типа IV.

В числителе записывается производная знаменателя: и

, где .

Интегралы вида вычисляются по рекуррентной формуле:

(или формула приведения). Зная, что можно вычислить

Пример.

; по формуле приведения:

, окончательно,

10.5. Интегрирование тригонометрических функций

Интеграл вида , где – рациональная функция от всегда выражается через элементарные функции.

1) Часто используется универсальная подстановка:

и получается от рациональной функции .

Использование этой подстановки обычно связано с громоздкими вычислениями.

2) Если имеет место тождество , то можно применить подстановку .

Пример 1.

Пример 2.

3) Интегралы вида , где m и n – целые числа любого знака.

а) если – нечетное, тогда , используется подстановка. .

б) если n – нечетное, тогда .

в) если m и n четные, то можно использовать подстановку , или понизить степень:

4) Часто используют формулы:

Пример3.

10.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

I. Рассмотрим интеграл вида , где – рациональная функция. Используем подстановку тогда необходимо вычислить , т.е. интеграл от рациональной функции. Затем возвращаемся к переменной . По этой же методике можно вычислять и . Необходимо привести к общему знаменателю и : если он равен , то положить .