<< < предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 / 10 7 8 9 10 следующая > >>

Глава 8. Основные теоремы дифференциального исчисления

Дата: 2025-04-30; Просмотры: 3

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

8.1. Теорема Ферма

Пусть определена на интервале и в точке интервала достигает наибольшего (наименьшего) значения. Тогда, если в существует производная, то она равна 0, т.е. .

8.2. Теорема Ролля

Если определена и непрерывна на отрезке , дифференцируема на и на концах принимает одинаковое значение ,то существует , в которой .

8.3. Теорема Лагранжа

Пусть определена и непрерывна на отрезке , дифференцируемая на . Тогда существует , такая, что .

8.4. Теорема Коши

Пусть и непрерывна на и дифференцируема на , причем . Тогда существует ,такая, что .

8.5. Правило Лопиталя

Теорема (правило) Лопиталя . Пусть функции и определены и дифференцируемы на промежутке , , и существует предел . Тогда и .

Глава 9. Приложения производной

9.1. Интервалы монотонности. Признаки экстремума

Множество точек координатной плоскости ХОУ, координаты которых связаны уравнением , называется графиком данной функции.

По производной функции можно судить о возрастании (убывании) самой функции. Напомним, что называется возрастающей в некотором интервале, если для любых и из этого интервала из неравенства следует неравенство

Убывающей: .

Теорема. Пусть определена на отрезке и имеет непрерывную производную внутри отрезка. Чтобы была возрастающей (убывающей), достаточно , .

Рассмотрим возрастание. Возьмем два значения и из и применим формулу Лагранжа: . Так как , и , то – возрастающая. Аналогично – убывающая.

Геометрический смысл – производная – угловой коэффициент касательной. Значение коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз.

Экстремумы функции

Функция имеет в т. максимум, если , где – достаточно малая по величине. Функция имеет в т. минимум, если .

Если в т. имеет max или min, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум.

Необходимое условие экстремума. Если существует конечная производная, то по теореме Ферма .

Экстремумы необходимо искать в тех точках, где или не существует. Такие точки называются стационарными (критическими).

Если допустить, что в отдельных точках нет конечной производной, то следует отнести к критическим и эти точки. Критические точки следует проверить, в них необязательно экстремум ( , нет экстремума).

Первый достаточный признак экстремума.

Пусть т. является критической для , а непрерывна и дифференцируема во всех точках некоторого интервала, содержащего эту точку (за исключением, возможно, самой точки ). Тогда возможно:

1) при и при , то есть производная при переходе через т. меняет знак с «+» на «–». Тогда при возрастает, а при (в данном интервале) убывает, значит, значение будет наибольшим – в т. имеет max.

2) при , при , то есть с «–» на «+» – min.

3) не меняет знак при переходе через . Тогда либо возрастает, либо убывает, экстремума нет.

Второй достаточный признак экстремума.

Пусть – критическая точка и , имеет вторую производную в интервале и в самой т. . Тогда, если – max , – min.

По определению производной: . Если , то дробь > 0. При знаменатель <0, (убывает) и при знаменатель >0 (возрастает) – min по первому признаку. Аналогично – max, если .

Исследования по второму признаку производят редко.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Если непрерывна на отрезке , то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает max и min значения. Этих значений достигает или в критических точках или на концах отрезка.

Правило. Чтобы определить наибольшее и наименьшее значения на отрезке, надо:

1. Определить критические точки, принадлежащие ;

2. Вычислить значение функции в этих критических точках и на концах отрезка;

3. Выбрать наибольшее и наименьшее значения из полученных чисел.

9.2. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

Кривая обращена выпуклостью вниз, если на интервале она лежит выше касательной, проведенной в любой точке (вверх, если ниже касательной).

Дуги кривой, называют выпуклыми на интервале , если они лежат ниже касательной, проведенной в любой точке . Дуги кривой называют вогнутыми на , если они лежат выше касательных.

Правило. Интервалы, в которых кривая выпуклая, определяются из неравенства , а интервалы, в которых вогнутая из неравенства .

Точка перегиба – точка, отделяющая ее выпуклую дугу от вогнутой. Точки перегиба следует искать среди точек, в которых , или не существует.

При перегиб будет в том случае, когда при переходе через эту точку меняет знак.

9.3. Асимптоты графика функции

Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние d от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении т. М в бесконечность (от начала координат) стремится к нулю.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

1. Вертикальная: кривая имеет вертикальную асимптоту , если . Необходимо отыскать те значения аргумента, при которых .

2. Наклонные: ищем асимптоту в виде . Найдем k и b .

Очевидно, что , или , так как , то , но , тогда . Необходимо рассматривать случай (и Лопиталь). Если предел не существует, то асимптот нет. Иногда существует две асимптоты: и и аналогично и .