Уравнение плоскости в отрезках

Дата: 2025-04-30; Просмотры: 43

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Теорема. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени.

– общее уравнение плоскости, где .

Справедливо и обратное: каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Уравнение плоскости в отрезках.

. Обозначим – уравнение плоскости в отрезках. Смысл величин а, b, c – это отрезки, которые плоскость отсекает от осей координат.

4.5. Расстояние от точки до плоскости

Пусть уравнение плоскости Р : , дана которая не принадлежит плоскости. Тогда . Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, следует подставить координаты этой точки в уравнение плоскости и полученную величину поделить на модуль вектора , т.е. на нормирующий множитель . Для определения расстояния от точки до плоскости можно пользоваться нормальным уравнением плоскости. В этом случае .

4.6. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данных точки. Угол между плоскостями

Пусть точки лежат в плоскости Р и точка – любая точка плоскости. Тогда , , лежат в одной плоскости и являются компланарными. Условие компланарности: равенство нулю смешенного произведения: , т.е.

—уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

4.7. Прямая в пространстве

В общем случае прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения 2-х плоскостей:

Канонические уравнения прямой

Пусть – точка лежащая на прямой; , где m, n, p – координаты направляющего вектора прямой, т.е. вектора параллельного данной прямой. – текущая точка. , получаем уравнение – канонические уравнения прямой.

Чтобы перейти от общего уравнения прямой к каноническому, в качестве точки берут любое решение системы, направляющий вектор прямой можно найти как векторное произведение векторов нормалей × .

. Если направляющий вектор прямой задан точками M₁, M₂, то можно записать уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки , : .

Угол между прямыми

Пусть 2 прямые заданы в канонической форме, т.е. известны направляющие векторы каждой прямой: , .

Угол между прямыми равен углу между направляющими векторами: .

Если прямые параллельны, то и .

Если прямые перпендикулярны, , то и = 0 – условия перпендикулярности прямых.

Кривые на плоскости

4.9. Окружность

Окружность- это геометрическое место точек, каждая из которых отстоит от центра (О) на одинаковом расстоянии r. Пусть – текущая.

Центр окружности: .

4.10. Эллипс

Эллипс – это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая расстояния между фокусами).

Пусть , тогда . Вводим ,

- каноническое уравнение эллипса.

Эллипс симметричен относительно осей OX и OY ( x ² и y ² ).

, : ; , : A , B , A ^* , B ^* – вершины эллипса, О – центр эллипса. большая полуось, малая полуось.

Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси: ; ; . Для окружности a = b и ε = 0, чем больше ε ,тем больше эллипс вытянут.

Эллипс получается при сечении цилиндра и проекция окружности на плоскость.

4.11. Гипербола

Гипербола – это геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина, взятая по модулю и меньше расстояния между фокусами.

и - фокусы . Пусть – текущая. – каноническое уравнение гиперболы.

Прямые – асимптоты.

Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами гиперболы к расстоянию между ее вершинами, , характеризует форму гиперболы.

4.12. Парабола

Парабола – геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки – фокуса равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (не проходит через фокус). Фокус F, расстояние от F до директрисы равно p – параметр параболы. Начало координат – посередине между F и директрисой.

, , .

Парабола симметрична относительно ОХ. х=0, у=0. (у²<0), . Пусть х=1, тогда . Длина хорды параболы, проведенной перпендикулярно оси, равна .

p характеризует «ширину» области, ограниченной параболой.

Глава 5. Функции

5.1. Понятие множества. Логическая символика

Множество – любая совокупность объектов, называемых элементами множества.

Примеры множеств – множество студентов академии, факультета, набор трех уравнений, множество всех целых чисел.

Множества обозначаются заглавными буквами, а элементы – строчными; – х элемент множества X; – x не является элементом множества X. – множество Х состоит их элементов .

Пусть Х и Y – два множества. Если они состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают, то есть Х=Y. Если каждый элемент множества Х является элементом множества Y, то (Х содержится в Y) и Х – подмножество Y.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым .

Пусть Х – множество, имеющее свойство Р(х), тогда обозначает совокупность тех элементов Х, которые обладают свойством Р(х).

Объединением множеств А и В называется множество .

Пересечением множеств А и В называется множество .

Разностью множеств А и В называется множество .

Верхняя и нижняя границы множества.

Говорят, что множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число С такое, что для любого выполнено . С – верхняя (нижняя) грань множества Х. С=sup X – верхняя, C=inf X – нижняя.

Логическая символика.

Пусть - некоторые утверждения. Тогда – не , то есть отрицание утверждения .

- из следует ; – эквивалентно ;

- и - конъюнкция; – или – дизъюнкция;

для всякого элемента истинно утверждение . ( – квантор всеобщности);

существует элемент такой, что для него истинно утверждение . ( – квантор существования).

Принцип математической индукции: .

Числа.

Натуральные числа 1, 2,3,…- N.

Целые числа – Z, Z₀ –множество всех неотрицательных чисел (и 0).

Q – множество рациональных чисел, x = m/n.

I – множество иррациональных чисел

R – множество действительных (вещественных) чисел, числовая прямая.

Модуль: ; .

Если , то ; это называются – окрестностью точки .

5.2. Понятие функции. Основные свойства функции

Часто приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. При изменении движения путь рассматривается как переменная, изменяющаяся в зависимости от времени. Путь – функция времени. Если радиус круга R принимает различные значения, то площадь тоже будет принимать различные значения. S – функция R. Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие определенный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция . х – независимая переменная, y—зависимая переменная.

Частные значения получаются, если аргументу х придавать частные значения. Пусть , при будет , при и так далее.

Запись: ; . Множество X – область определения (существования) функции, множество Y – область значений функции.

Способы задания функции

Три основных способа – аналитический, табличный, графический.

1. Аналитический способ состоит в том, что зависимость задается в виде формулы, указывающей, какие действия надо выполнить, чтобы получить значение функции .

2. Табличный способ заключается в том, что в определенном порядке записываются значения х и соответствующие значения у. Конечное число аргументов.

3. Графический способ часто используется в практике физических измерений. Аргументы – абсциссы, функция – ординаты. Следовательно, график – множество точек плоскости.

Рассмотрим основные свойства функции

1. – функция чётная, – функция нечётная.

Если функция не является ни чётной, ни нечётной, то говорят, что функция общего вида.

2. Монотонность.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента из множества X соответствует большее значение функции , то ).

Функция убывающая, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции ( , то ).

3. Ограниченность.

Функция называется ограниченной на множестве X, если существует такое положительное число , что для любого .

4. Периодичность.

Функция называется периодической с периодом , если выполняется равенство .

5.3. Основные элементарные функции

1. Степенная. , где - действительное число.

2. Показательная: .

3. Логарифмическая: .

4. Тригонометрические: ;

5. Обратные тригонометрические функции: .

6. Сложная функция – функция вида , где .

5.4. Элементарные функции. Классификация функций.

Элементарные функции – все функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью:

а) алгебраических действий и так далее;

б) операцией образования сложной функции.

Неэлементарные функции: ; (антье) – целая часть числа х. [2,3]=2; [–2,5]=–3.

Элементарные функции можно разделить на алгебраические и трансцендентные (неалгебраические).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом производится конечное число алгебраических действий:

а) многочлен ;

б) дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов;

в) иррациональная функция (если есть корни).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных относиться тригонометрические, показательные, логарифмические и т.д.