<< < предыдущая 1 2 / 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 следующая > >>

Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Дата: 2025-04-30; Просмотры: 2

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

2.1. Основные понятия и определения

В общем случае система n линейных с неизвестными уравнений имеет вид:

(2.1)

Через обозначены неизвестные, подлежащие определению; величины , называемые коэффициентами системы, и величины , называемые свободными членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы имеет два индекса, первый из которых указывает номер уравнения, а второй – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Решением системы называется всякая совокупность чисел , которая, будучи подставлена в систему вместо неизвестных, превращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хоты бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений. Будем говорить, что совместная система – определенная, если она имеет единственное решение и неопределенная, если она имеет более одного решения.

2.2. Условие совместимости СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему (10). Матрицей этой системы будем называть матрицу, составленную из ее коэффициентов: .

Если к этой матрице добавить столбец свободных членов, получим расширенную матрицу:

Теорема Кронекера–Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы.

2.3. Правило Крамера решения СЛАУ

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными (2.1).

Введем матрицу неизвестных X :, и матрицу свободных членов В: .

Считаем, что определитель матрицы системы (2.1) . Систему (2.1) можно заменить матричным уравнением: .

Умножим матричное уравнение слева на обратную матрицу : поскольку тогда .

Используя формулу для обратной матрицы и введя обозначения: получаем формулы Крамера: .

Определитель получается из определителя системы заменой его i столбца столбцом свободных членов (если расписать определитель по i столбцу, мы получим формулу Крамера .

Например, для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными: если определитель системы , то система имеет единственное решение: .

Пример 2.1. Решить систему

Необходимо вычислить четыре определителя по формулам Крамера:

;

Тогда .

Проверкой убеждаемся в правильности вычислений.

2.4. Метод Гаусса

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными (2.1). Метод Гаусса представляет собой систематизированную схему последовательного исключения неизвестных. Пусть (иначе переставим местами уравнения). С помощью первого уравнения исключим переменную х₁ из второго и последующих уравнений. Для этого от второго уравнения отнимем первое, умноженное на , от третьего – первое, умноженное на и т.д. Получим систему уравнений с новыми коэффициентами. Пусть , тогда аналогично исключим х₂ из третьего и последующих уравнений. Для этого умножим второе уравнение на и вычтем полученный результат из третьего, из четвертого уравнения вычтем второе, умноженное на и т.д. Продолжив дальнейшее исключение неизвестных, получим систему с так называемой треугольной матрицей:

Эта процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Далее начинаем обратный ход метода Гаусса, т.е. нахождение неизвестных. Находим из последнего уравнения, затем найденное значение подставляем в предпоследнее уравнение и определяем x_n_–1. Найденные значения и подставляем в (n – 2)-е уравнение и находим . Продолжая этот процесс, определяем остальные неизвестные системы.

Мы полагали, что . Однако, при данных преобразованиях мы можем получить уравнения вида , в котором все коэффициенты при неизвестных равны 0. При этом возможны два случая.

Если , то система имеет бесконечное количество решений. При этом одно (или несколько) уравнений являются следствием остальных.

Если , то система не имеет решений.

Как отыскивать решения системы в первом случае, будет указано в следующем пункте. При решении систем линейных уравнений методом Гаусса удобно приводить к треугольному (или ступенчатому) виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя все преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 2.2. Решить систему из примера 2.1 методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы: . В результате прямого хода матрица системы приведена к треугольному виду и найдено, что . Получим единичную матрицу, т.е. накопим нули выше главной диагонали:

. Таким образом, .

2.5. Матричные уравнения

Дана система n линейных уравнений с n неизвестными (2.1). Введём обозначения:

, , , тогда данную систему можно записать в матричном виде: . Умножим это уравнение на обратную матриц слева (считаем, что определитель матрицы системы не равен 0). Тогда: , т.к. , тогда или . Это формула для решения уравнения (2.1) с помощью обратной матрицы.

Если в уравнении все три матрицы являются квадратными, причем , тогда решение .

Рассмотрим матричное уравнение вида . Имеем ; .

Пример 2.4. Решить систему примера 2.1 матричным способом (с помощью обратной матрицы).

Матрица системы , матрица неизвестных , матрица свободных членов .

Найдем обратную матрицу . вычислим алгебраические дополнения:

; ; ; ; ; ; ; ; .

Тогда решение системы определены по формуле :

т.е. .

Глава 3. Векторы

3.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Различают скалярные и векторные величины. Скалярные величины полностью характеризуются своим численным значением в выбранной системе единиц (работа, температура, плотность и т.д.). векторы кроме численного значения, обладают направлением в пространстве. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В. Вектор может обозначаться одной буквой: . Длиной (модулем) | | вектора называется число, равное длине отрезка АВ.

Векторы, лежащие на одной прямой (или на параллельных прямых) называются коллинеарными. Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называют нулевым и обозначают . | | = 0, направление произвольно. Если = , то вектор называют противоположным к вектору и обозначают – . Очевидно, что .

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат и перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Координатами вектора будем называть координаты его конечной точки: .

Модуль вектора : .

Линейные операции над векторами.

Пусть заданы векторы и Линейными операциями называют сложение (вычитание) векторов и умножение вектора на скаляр. Сложение векторов производят по правилу параллелограмма:

, . Чтобы построить сумму векторов , нужно к концу вектора приложить вектор, к концу вектора приложить вектор и так далее до . Тогда суммой будет вектор, идущий из начала в конец вектора .

Вычесть какой-нибудь вектор – значит прибавить противоположный, т.е. .

Умножение вектора на (скаляр) число : , .

Если , то полученный вектор – это вектор, получающийся из растяжением в раз без изменения направления. Если , тогда следует растянуть в раз и изменить направление на противоположное.

Свойства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

3.2. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Базис

Линейная комбинация векторов. Пусть даны векторы . Тогда всякий вектор, имеющий вид , где – некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов или вектор линейно выражается через векторы .

Данные векторы называются линейно-зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные, в противном случае – эти векторы линейно независимые.

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, если они коллинеарны друг другу. Из определения умножения вектора на число следует: если , то . Наоборот, если два вектора параллельны, то любой из них можно растянуть во столько раз, чтобы получить другой.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (параллельны одной плоскости).

Четыре или более векторов всегда линейно зависимы.

Тогда – разложение вектора по трем некомпланарным векторам (разложение вектора по трем осям), что можно осуществить единственным образом.

Совокупность линейно независимых векторов, по которым производится разложение остальных векторов, называется базисом. В плоскости базисом могут служить два неколлинеарных вектора, в пространстве – три некомпланарных вектора.

Пусть – базис, – произвольный вектор, тогда , где –координаты вектора в базисе векторов .

Обычно выбирают ортонормированный базис, в котором векторы ортогональны (перпендикулярны) и каждый вектор имеет единичную длину. В этом случае базисные векторы называют ортами и обозначают .

Декартовы координаты в пространстве

В качестве базиса декартовых координат выбрали три вектора единичной длины (орты), которые взаимно перпендикулярны и отнесены к общему началу в точке О, принятой за начало координат. Положение произвольной точки М в пространстве полностью характеризуется вектором , называемым радиус-вектором точки М: , - декартовы координаты. Для любого вектора : , - проекции на соответствующие оси.

Если , то , тогда , , , – условие коллинеарности векторов.

Если , то или – условие ортогональности векторов.

Направляющие косинусы вектора – косинусы углов, которые он образует с осями координат. Если , то , то есть , , .

3.3. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов и равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними: – скаляр. Иначе: . Пример из физики: , А – работа, – сила, – перемещение.

Свойства скалярного произведения:

1. Скалярное произведение равно 0, если векторы перпендикулярны, то есть , , α = 90⁰. Если , то и тоже перпендикулярны.

2. , так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

3. Перестановочный закон: .

4. Распределительный закон: .

5. .

Пример:

Пусть даны два вектора: . Тогда скалярное произведение равно

3.4. Векторное произведение векторов

Пусть дана тройка некомпланарных векторов с общим началом, причем – первый вектор, – второй, – третий. Такая тройка называется правой, если поворот от к осуществляется против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора . Тройка называется левой, если поворот от к осуществляется по часовой стрелки. Если – правая, то – левая.

При циклической перестановке «смысл» тройки не меняется: если – правая тройка, то – правая, и – правая.

Векторным произведением векторов и называется вектор , определяемый следующими условиями:

1. , – угол между векторами – это площадь параллелограмма, построенного на этих векторах

2. и ;

3. упорядоченная тройка , , – правая.

Свойства:

1. если , то и ;

2. – S не меняется, меняется направление;

- если сторону параллелограмма увеличить в раз, то S тоже увеличится в раз;

3. .

Эти свойства дают возможность раскрывать скобки. Например:

4. – это выражение векторного произведения через координаты векторов, где векторы: .

3.5. Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора: , , . Тогда смешанное (или векторно-скалярное) произведение – – скалярная величина, т.е. первые два вектора умножаются векторно, а результат – скалярно на третий вектор.