<< < предыдущая 1 2 3 4 5 6 / 10 6 7 8 9 10 следующая > >>

Жидкость со средней вязкостью с условием

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 2

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

5. Жидкость с Вязкостью

Рассмотрим вязкую жидкость с небольшим числом Рейнольдса, где все инерционные члены содержатся в уравнениях Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с вязкостью [12]. Выше отмечено, что уравнения Навье-Стокса такого вида, если не считать работы [8, 9], не исследованы в полном объеме. Технические приложения теории жидкости ограничены при очень больших значениях вязкости, если не поднимать вопросы теории смазки и падение маленьких шариков в густом масле [12]. Однако теоретические исследования в этом направлении важны для науки и практики. Это вызывает к разработке методов интегрирования уравнений Навье-Стокса со средним размером вязкости при наличии всех членов уравнения, поэтому в данном параграфе разработаны методы решения таких задач в пространстве и класс подходящих решений, построенных на основе леммы K. Фридрихса [15] в .

Для этого модифицируются основные методы параграфа 4: (4.2) и (4.12) на основе регулирующих функций , причем задача (1.1) – (1.3) не допускает ограничений (А₁) и (А₂), в чем и заключается актуальность исследований этого параграфа.

5.1. Жидкость со средней вязкостью с условием

Итак, если исходные данные подчинены условию

(5.1)

то для определения компонент скоростей введем следующее правило

(5.2)

причем

(5.3)

Тогда, принимая во внимание (5.2) и (5.3), получим

(5.4)

Значит, на основании (5.4) имеем

(5.5)

так как имеет место

Тогда систему (5.4) можно эквивалентно преобразовать к виду

(5.6)

т.е. заменить одним уравнением с одной неизвестной . Следовательно, неизвестная функция определяется уравнением

(5.7)

где

Уравнения (5.7) содержат неизвестные функции Дифференцируя (5.7) по и вводя обозначение

(5.8)

преобразуем выражение (5.7) в систему

(5.9)

которая (5.9) состоит из четырех интегральных уравнений 2-го рода по переменной с четырьмя неизвестными функциями.

Для доказательства однозначной совместимости этой системы положим, что

(5.10)

(5.11)

Тогда решение (5.9) существует и единственно и его можно найти по методу Пикара

(5.12)

Поэтому на основе математических выводов метода Пикара последовательности функций являются сходящимися и фундаментальными в , при этом, то, что элементы построенных последовательностей принадлежат доказывается на основе выражения (5.11). Значит, последовательности сходятся к пределу , т.е.

(5.13)

Тогда на основе правила (5.2), получим

(5.14)

а это означает, что последовательности стремятся к пределу

(5.15)

Теорема 6. Задача Навье-Стокса при условиях (1.2), (1.3), (5.1) и (5.15) имеет единственное непрерывное решение в , которое определяется с помощью правила (5.2).

Замечания:

I . Единственность очевидна на основе метода от противного. Результаты (5.13) с условиями (5.1), (5.10), (5.11) получены, когда гладкость функций до требуемого порядка требуется только по , так как производная первого порядка по времени определяется для всех . Тогда с учетом (5.13) система (5.9) имеет единственное непрерывное решение, а потому уравнение (5.7) имеет единственное решение Значит, на основе (5.2), (5.14) и (5.15)