Модификация метода, компоненты скорости и функции . Теорема

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

4.4. Модификация метода (4.2), когда

Рассмотрим разновидность основного метода (4.2) по пункту 4.1, когда начальные компоненты скорости и функции удовлетворяют условиям

(4.36)

Тогда функции представимы ​​в виде

(4.37)

Теперь, используя формулы (4.36), (4.37) и

(4.38)

из уравнений Навье-Стокса (1.1) получим эквивалентную систему

(4.39)

Далее, из системы (4.39) с учетом условий (4.36) – (4.38), применяя алгоритм АПС, имеем уравнение

(4.40)

так как при математических преобразованиях системы (4.39) соблюдаются условия

Следовательно, система (4.39) на основе (4.40) эквивалентно преобразуется к виду

(4.41)

Но, теперь, из (4.41) следует

(4.42)

где

В таком виде система (4.42) содержит неизвестные функции и состоит из четырех интегральных уравнений Вольтерра-Абеля второго рода по переменной .

Итак, пусть относительно известных данных предполагаются выполненными условия

(4.43)

и

(4.44)

Тогда на основании (4.31) – (4.33) существует единственное решение системы (4.42), которое определяется по методу Пикара. Значит, относительно последовательности функций допускаются все выводы метода Пикара (4.31), указанные в предыдущих пунктах. Поэтому последовательность функций сходится к пределу

(4.45)

Из полученных результатов следует, что задача Навье-Стокса (1.1) – (1.3) в случае (4.36), (4.37) и (4.45) с достаточно гладкими начальными данными имеет условно-гладкое единственное решение в , так как Поэтому результаты формулируются следующей теоремой.

Теорема 5. Задача Навье-Стокса при условиях (1.2), (1.3), (4.36), (4.37) и (4.45) имеет условно-гладкое единственное решение в .

Замечание 5. Алгоритм (4.37) применим, как в случае равенства, так и неравенства, т.е. когда . В самом деле, если

(4.46)

то на основе (4.39) – (4.41) имеем

т.е. получили выражение (4.42) следующего вида

(4.42)*

Поскольку справедливо (4.44), то решение системы (4.42)* можем найти по методу Пикара, при этом на основании (4.31) – (4.33) имеем сходимость по формуле (4.45). Значит, как и с аналогичными результатами теоремы 5, задача Навье-Стокса при условиях (1.2), (1.3), (4.45), (4.46) имеет единственное решение в .