III . Периодические несинусоидальные токи в электрических цепях.

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 2

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

1. Основные понятия о несинусоидальных ЭДС, напряжениях, тока и методах анализа.

Для большинства эл.приёмников нормальный режим работы обеспечен синусоидальным напряжением подачи, всвязи с этим ГОСТ 13109 устанавливает нормы допустимого отклонения периодических ЭДС, напряжения и тока от синусоидальной формы.

В реальных условиях в эл.установках различного назначения возникать несинусоидальные токи, это может иметь место даже при подаче в цепь синусоидального напряжения. Например включение в цепь нелинейных элементов.

В реальных эл.цепях функции описывающие несинусоидальные ЭДС, напряжение, токи всегда удовлетворяют условиям Дирихле.

За полный период имеются конечное число разрывов 1-го рода и конечное число максимумов и минимумов. Такую функцию можно разложить в гармонический ряд Фурье, представив периодические несинусоидальные ЭДС, напряжение или ток в виде суммы бесконечного числа синусоидальных ЭДС, напряжения или токов различной частоты можно свести изучение процесса в цепях с несинусоидальными величинами к изучению процессов в цепях с синусоидальными величинами.

При разложении в ряд Фурье периодическая несинусоидальная ЭДС имеет вид:

У каждой гармоники своя частота.

, -Значение несинусоидальной ЭДС в момент времени t, Е₀-Постояная составляющая ЭДС.

-Основная или 1-я гармоника, имеющая ту же частоту, что и несинусоидальная ЭДС

-Гармоника высшего порядка, имеющая частоту в К раз больше основной.

-Амплитуды гармоник 1-го, 2-го, К-го порядка, -угловая частота основной гармоники. .

-Начальные фазы гармоник.

Амплитуды гармоник разного порядка зависят только от формы несинусоидальной кривой, а начальные фазы изменяются при изменении начала отсчёта времени. ( =0; =0)

Для определения амплитуд гармоник целесообразнее её представить в виде суммы 2-х гармоник =0 ;

; ;

Амплитуда гармонических колебаний В_К и С_К зависят от начальных фаз и поэтому изменяются при изменении начального отсчёта времени. С учётом последнего выражения для ограниченного числа членов ряда выражение принимает вид: ;

; ; ;

Зная амплитуды двух слагаемых каждой гармоники можно найти полную амплитуду этой гармоники и её фазу:

; .

Постоянная составляющая Е₀ является средним значением периодической несинусоидальной ЭДС. Аналогичным образом можно представить рядом Фурье несинусоидальные функции тока и напряжения.

2. Действующие и средние значения несинусоидальных электрических величин.

Измерительные приборы тепловой, эл.магнитной, эл.динамической, эл.статической систем показывают действующие значения измеряемых величин. Действующие значение несинусоидальных ЭДС (напряжения и тока), равно среднеквадратичному её значению за время равное её периоду:

; ; ;

При ;

- аналогично для действительных значений тока и напряжения:

_{; ;}

Действующее значение несинусоидальной величины равно корню квадратному из суммы квадратов действующего значения и действующих значений её гармоник .

Эквивалентной синусоидальной величиной называют такую величину действующего значения, которая равна действующему значению несинусоидальной величины.
Амплитуда эквивалентной синусоидальной ЭДС определяется выражением: ;

Среднее значение за полупериод: .

4. Анализ линейных электрических цепей при несинусоидальном напряжении источника питания.

Так как цепь линейна то можно найти составляющую тока создаваемую каждой составляющей U –нием ,а суммарный ток найти сложением составляющих токов используя принцип наложения.

Постоянное состояние I не синусоидального тока может существовать только тогда ,когда в цепи нет C конденсатора.

Гармоника – порядка определиться:

,

Далее по принципу:

Полное сопротивление цепи для любой гармоники I зависит от порядка гармоники

, ;

3. Активная мощность при несинусоидальных напряжении и токе.

Активная мощность определяется как средняя мощность за период.

; ;

;

; ;

Для активной мощности при несинусоидальном напряжении выражение представляет из себя сумму активной мощности каждой гармоники в отдельности.

; ;

К эл.цепям с несинусоидальными напряжением и током применимо понятие полной мощности, определяемой произведением действующих значением напряжения и тока S=UI.

; -коэффициент мощности для несинусоидальных напряжений и тока, Р-активная мощность, S-полная мощность.

В отличие от эл.цепей синусоидального тока где коэффициент мощности цепи с активным сопротивлением равным 1, в цепях несинусоидальных напряжений и тока , даже для цепи с активным сопротивлением, зависящим от частоты и тока.

Допустим что ток в цепи синусоидальный, а ток содержит высшие гармоники: ; ;

Действующее значение напряжения: ;

коэффициент искажения.

Так как , то , в любом случае из этого следует что наличие высших гармоник в напряжении и токе почти всегда приводит к уменьшению коэффициента мощности, при замене несинусоидальных напряжений и тока эквивалентными величинами сдвиг фаз между ними определяется коэффициентом мощности - . .

4. Анализ линейных электрических цепей при несинусоидальном напряжении источника питания.

Так как цепь линейна то можно найти составляющую тока создаваемую каждой составляющей U –нием ,а суммарный ток найти сложением составляющих токов используя принцип наложения.Постоянное состояние I несинусоидального тока может существовать только тогда ,когда в цепи нет C конденсатора.

Гармоника – порядка определиться: ,

, ,Далее по принципу:

Полное сопротивление цепи для любой гармоники I зависит от порядка гармоники :

, ;

5. Несинусоидальные кривые с периодической огибающей. Биения

Это кривые, относящиеся к классу почти периодических. Они также разлагаются на гармонические составляющие. Период таких кривых обычно во много раз превышает период любой из составляющих и может стремиться к бесконечности. К числу явлений, характеризуемых такими кривыми, относятся биения и модуляции.

Биения. Простейший случай получается при сложении двух синусоид с равными амплитудами, но не равными частотами ω1 и ω2, причем ω1 > ω2:

Преобразуя сумму синусов, получим

Можно считать, что кривая f(t) представляет собой синусоиду с угловой частотой амплитуда которой изменяется по косинусоиде со значительно меньшей угловой частотой , тогда

Частотой биений - частота , равная числу максимумов огибающей кривой в единицу времени.

Пример несинусоидальной кривой с периодической огибающей показан на рис.1.

Период биений в общем случае не равен периоду кривой f(t).

Модулированные колебания. Синусоидально изменяющаяся величина f(t) = sin(ω t + Ψ) задается тремя параметрами: амплитудой , угловой частотой ω и начальной фазой Ψ. Эти величины не зависят от времени. Однако для передачи различного рода сигналов применяются генераторы, в которых одна из этих величин изменяется по некоторому заданному закону. Изменение во времени одного из параметров , ω или Ψ называют модуляцией. Различают амплитудную, частотную и фазовую модуляции.

Пусть функция, изменяющаяся с частотой и амплитудой (t), модулирована гармоническим сигналом с частотой Ω < относительно среднего значения , т.е. с законом изменения (t) (рис.8.2):

Частота называется несущей частотой, частота Ω – модулирующей частотой, m – коэффициентом модуляции.

При определении токов или напряжений модулированные по амплитуде колебания могут быть разложены на синусоидальные составляющие:

Тогда

, где ;

Таким образом, простейшие модулированные по амплитуде колебания могут быть представлены в виде суммы трех синусоидальных колебаний с несущей частотой , боковыми частотами , и постоянными амплитудами.

Под действующим значением колебаний с периодической огибающей, описываемых функцией , обычно понимают действующее значение огибающей, деленное на

, где T = 2π/Ω.

.

В цепях несинусоидального тока резонансные режимы возможны для различных гармонических составляющих. Как и при синусоидальных токах, резонанс на к-й гармонике соответствует режиму работы, при котором к-е гармоники напряжения и тока на входе цепи совпадают по фазе, иначе говоря входное сопротивление (входная проводимость) цепи для к-й гармоники вещественно. Пусть имеет место цепь на рис. 1,а, питающаяся от источника несинусоидальной ЭДС, в которой емкость конденсатора может плавно изменяться от нуля до бесконечности.   Для к-й гармоники тока можно записать ,где - действующее значение к-й гармоники ЭДС. Таким образом, при изменении С величина к-й гармоники тока будет изменяться от нуля при С=0 до при , достигая максимума при резонансе (рис. 1,б), определяемом величиной емкости . Следует отметить, что, несмотря на то, что обычно с ростом порядка гармонической ЭДС ее амплитуда уменьшается, в режиме резонанса для к-й гармонической ее значение может превышать величину первой гармоники тока. Резонансные явления используются для выделения гармоник одних частот и подавления других. Пусть, например, в цепи на рис. 2 необходимо усилить q-ю гармонику тока на нагрузке и подавить р-ю. Для подавления р-й гармоники в режим резонанса токов настраивается контур : . Для выделения q-й гармоники вся цепь для нее настраивается в режим резонанса напряжений: ,откуда при известных и . Отметим, что рассмотренные явления лежат в основе работы L-C -фильтров.

7. Высшие гармоники в трехфазных цепях.

В трехфазных цепях кривые напряжения фаз B и C обычно воспроизводят форму кривой фазы A.

U_А=f(t)

U_B=f(t-T/3)

U_C= f(t+T/3)

Рассмотрим гармоники K-ого порядка во всех трех фазах:

U_АK=U_KMsin(Kωt+ _K)

ωt=2

U_BK= U_KMsin(Kωt+ _K- )

U_CK=U_KM(Kωt+ _K+ )

Следов-но напряж. гармоник,порядка кратного 3, K=3n n Z во всех фазах в момент времени имеет одно и тоже значение и направление

при K=3n+1 гармоники трех фаз образуют симметрич. сис-му U последовательность которых совпадает с последовательностью фаз первой гармоники.

при при K=3n+2 гармоники трех фаз образуют симметрич. сис-му U последовательности обратной основной.

Таким образом гармоники порядка 1,4,7,10 обр-т сис-му U прямой последовательности

гармоники порядка 2,5,8,11 обр-т сис-му U обратной последовательности

гармоники порядка 3,6,9,12 обр-т сис-му напряжений нулевой последовательности

При наличии постоянной составляющей в напряжении каждой из фаз она может рассматриваться как нулевая гармоника порядка кратного 3,т.е. образующая нулевую последовательность.

Если фазы генератора соединены звездой, то при несинусоид. фазном U, линейные U не содержат гармоник порядка кратных 3,т.к. они образуют сис-мы нулевой послед-ти.

U_ф=

U_Л=

U_Л< U_ф*

Ток в нейтральном проводе

I_N=3

n=3*1 n=3*3 n=3*5

При отсутствии нейтральн. провода токи в каждой из фаз не могут содерж. высших гармоник порядка кратного 3.

Если фазы генератор. соеденин. треу-ком, то при несинусоид. ЭДС,сумма ЭДС,действ. в замкн. контуре генератора не равно 0,а равна 3-ой сумме высших гармоник, порядка, кратного 3.

Вольтметр измерит гармоники ЭДС ,порядка кратн. 3 т.к. остальные в сумме дадут 0.

U=3

ЭДС гармон. порядка кратн. 3 вызыв. внутренний ток в генераторе.

Фазное U линейному

U_ф= I_Ф=3

Линейный ток во внешней цепи.

I_л= I_Ф*

Открытый треугольн. с ЭДС содерж. высшие гармоники примен. как утроитель частоты во внешн. цепи,подключ. к генератору обмотки кот. соедин. треугольн. токи не содержат гармон. порядка кратного 3.

IV . Цепи (линии) с распределенными параметрами.

1. Направляющие сис-мы передачи электроэнергии и их модели.

Электротехн. устр-ва предназн. для выработки и преобразов. эл. энергии. Электрические сигналы служащие носителями энергии необходимо передавать от одного устр-ва к другому из одной области простр. в другую. Для этого служат различные виды передающих сис-м:

1)Радиоприемник(передача электр. волн в неогран. среде)

2)Направляющие линии передач

3)В электроэнергетики используют проводные линии передачи низкой промышл. частоты

4)В информационных сис-х применяют оптические и диэлектрические волноводы, кабельные и проводниковые линии связи.

Решение задачи распространения электром. энергии по направл. сис-м базируется на ур-нях электродинамики(ур-е Максвела).

В диапазоне работы большинства пром. линий связи при частотах f<10⁸ Гц в основном справедливо квази-статическое приближение и можно использовать эквивалент. электр. схемы.

В проводных линиях связи длина линии может быть соизмерима с длиной волны, но поперечные размеры линии существ. меньше в таких линиях токи и напряжения для одного и того же момента времени различн. в разных сечениях и необходимо учитывать изменение их значения вдоль линии.

К распредел. цепям относятся не только проводн. линии,но и электротехнические устройства ,в которых требуется учитывать распределение U и I вдоль координат,например многоветк. обмотки эл. машины.

Обмотку трансформатора можно считать цепью с распред. параметрами только при большой частоте прилож. U либо импульса U.Ток в такой цепи изменяется по длине обмотки от витка к витку и ее следует рассматривать как эл. цепь с распредел. вдоль цепи продольн. и поперечными сопротивл.

Цепью с распредел. параметрами называют устр-во,в котором величина тока или магнитного потока изменяется вдоль длины и зависят от двух переменных времени и расстояния.

Любые электр. и магнитн. цепи с распредел. параметрами могут быть нелинейн. и линейн. однородн. и неоднородн.i(t,e), Ф(t,e), U(t,e)

Однородной называют цепь с распределительными параметрами при условии, что одинаковые все продольные U и поперечные проводимости идентичных участков устройства.

Электрические линии связи и передача электроэнергии имеют различные конструктивные исполнения:

1)Коаксиальный кабель 2)Триоаксиальный кабель 3)Плоский многожильный кабель

4)Многопроводная ВЛ связи 5)Трехфазная линия электропередачи энергии

2. Уравнение двухпроводной линии

Процесс распространения эл. энергии вдоль однородной симметричной системы из 2 проводов. Выделим отрезок достаточной малой длины и представим его эквивалентной схемой участка.

r-сопротивление тепловых потерь в проводах на единицу длинны(Ом\м), L-связанные внеш. И внутр. Индуктивностями проводов (Гн\м),g – проводимость потерь в диэлектрике(См\м), С – емскость учитывающая ток смещения между проводами(Ф\м).

Предположим, что по проводам протекает син. Ток не слишком высокой частоты (50Гц). Энергия входящая в провод идет на нагревание проводов и образование маг. Поля. Изменяющиеся маг. И эл. поля в диэлектрике отраженна погонной емкостью.

Наличие продольных сопротивлений и поперечной проводимости приводит к тому, что на участке длинной ΔХ получим приращение тока i +Δ i , U +Δ U .Δ i = Δx ; ΔU = Δ x . Из ур-ий Кирхгофа для контура 1-2-2`-1`-1 узла 2 получим систему уравнений относительно приращений U,i: = r _{0 i} + L ₀ ; - = g ₀ U + C ₀ ; r ₀ = r ₁ + r ₂ – погонное продольное сопротивление, ₀ = r ₁ + L ₁- индуктивная линия.

3.Уравнения многопроводных линий

Участок трехпроводной линии ,имеющий 2 прямых провода(1 и 2) и один обратный (0), содержит погонные элементы, отражающие электрические процессы. В общем случае к+1 проводной линии (к прямых проводов и 1 обратный) можно записать матричное соотношение

i и U – векторы токов и напряжений, R- диагональная матрица погонных сопротивлений, L,G и C- матрицы собственных и взаимных погонных индуктивностей, проводимостей и емкостей.

Погонные параметры применяемых линий являются паспортными параметрами и приводятся в справочниках. При расчетах необходимо учитывать зависимость погонных параметров от конструктивных и электрофизических. Указанные соотношения могут быть получены только из решений соответствующей краевой электродинамической задачи.

В зависимости от соотношения параметров для линии наряду с полной моделью возможно использование упрощенных моделей:

1)линия без потерь r₀=0, g₀=∞

2)резистивно-емкостная линия g₀=∞, L₀=0

3)Резистивная линия С₀=0, L₀=0

4.Расчет процессов в цепях с распределенными параметрами.

Система уравнений с начальными и граничащими условиями описывает процессы в цепях с распределенными параметрами.

В классическом подходе систему уравнений сводят к 1-му уравнению 2-го порядка, исключив переменную,например,ток.

Начальные и граничные условия так же необходимо формулировать для напряжения u(t,x).

Процессы в линии без потерь(r₀=0, g₀=∞) описывают одномерным волновым уравнением.

+ , V=- - скорость распространения волны

Его решение - совокупность функций ,т.е сумму прямой и обратной волн.u(t,x)=u_п(t- )+u₀(t+ )

Если в точке линии с координатой х₀ наведен импульс напряжения u(t₀,x₀), то значение напряжения u(t_к,x₀) будет иметь место во всех точках линии при х х₀ с запаздыванием во времени.

t_P= , т.е равным времени распространения.Распределение напряжения вдоль линии можно получить заменой аргумента t t- - для прямой волны(х х₀), t t+ - для обратной волны(х х₀).Оба импульса распределяются вдоль линии без изменения формы со скоростью V в противоположных направлениях.

Распространение импульса напряжения вдоль линии приводит к возникновению тока (изменение заряда на проводниках).

, i= i_п(x,t)= ,Z_B= - волновое сопротивление линии

i(x,t)=i_п

Аналитическое решение телеграфных уравнений можно получить операторным методом.

Рассмотрим процессы в линии при нулевых начальных условиях U=U(x,o), i(x,o)=0.Если в линии в начальный момент времени имеется заряд и напряжение, то можно воспользоваться принципом наложения с рассмотреть 2 режима:

а)переходный процесс в заряженной линии б)установившийся режим в линии без воздействия.

Телеграфные уравнения в операторном виде

U(p,x) и I(p,x)- изображения по масштабу функций времени для каждой координаты х-линии:

Z₀=r₀+pL₀, Y₀=g₀+pC₀

Операторные погонные параметры линии,продольное сопротивление и поперечная проводимость.

Систему уравнений сведем к одному из уравнений: = γ²(p)U(x,p) , = γ²(p)I(x,p)

γ= = - постоянное распространение. Решение уравнений имеет вид:

U(x,p)=А₁е^-γх+ А₂е^γх I(x,p)= е^-γх - е^γх, А₁ и А₂ –постоянные,зависящие от граничных условий.Z_B= = По аналогии с процессами в линиях без потерь решение можно записать в виде

U(x,p)=U_п+U₀, I(x,p)=I_п-I₀ U_п,U₀, I_п,I₀ –изображение прямых и обратных волн U и I соответственно

Следует иметь ввиду, что название прямой и обратной волн для изображения условны,т.к. реальные процессы в некоторых видах линий не имеют характера распространяющейся волны.

Вид решения для изображений зависит от 2-х операторных величин: вторичных параметров γ(р) и Z_B(p) ,определяющих особенности процессов в различных линиях.

Для линии без потерь γ=p* , Z_B= , причем волновое сопротивление имеет резистивный характер.

Если в линии без потерь существует только прямая волна,то U(x,p)= U(0,p)*е^-γх, I(x,p)= U(0,p)*е^-γх / Z_B

Переход от изображений к функциям времени согласно теореме запаздывания дает

u(t,x)=u(0,t- ) i(t,x)=u(0,t- )/ Z_B

Резистивно-емкостная линия характеризуется системой уравнений: ,которая сводится к уравнению для напряжения .

Полученное уравнение не является волновым и его решение не может быть представлено совокупностью волн. В операторном виде: U(x,p)=А₁ + А_{2 .}γ= -постоянное распространение

5.Установившиеся режимы в линиях.

При действии на входе линейной цепи с распределенными параметрами установившегося синусоидального сигнала U и I в любой точке линии так же будут синусоидальными, одной частоты с отличающимися амплитудами и начальными фазами.

Задача расчета процессов линии сводится к нахождению распределения амплитуд и фаз синусоидальных U и I в зависимости от координаты.

В символической форме записи телеграфные уравнения сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

- = (r₀+ jωL₀)İ= İ - = (g₀+ jωC₀) = , - полные погонные сопротивления и проводимость

Решение уравнений: (x)= е^-γх+ е^γх (x)= – , где γ= - комплексная постоянная распределения на частоте ω, = - комплексное волновое сопротивление на частоте ω

, - комплексные коэффициенты,зависящие от граничных условий.

Комплексы прямой и обратной волн: (x) = (х)+ (х) (x) = (х)+ (х)

Волновое сопротивление и постоянная распространения определяет характер процессов в линии при синусоидальном воздействии и носит название вторичных параметров. Первичные параметры линии : r₀, g₀, c₀, l₀… Постоянная распространения включает в себя коэффициенты затухания α и коэффициент фазы β.

γ= = α+β

Вторичные параметры завися от типа линии передачи и использованной частоты.Вторичные параметры линии постоянного тока: γ=

Для линии без потерь r₀=0, g₀= 0: γ= α=0 β= , =

A₁* A₂* , u(x,t)=A₁ + A₂

i(x,t)= -

Фиксированные точки линии Х_н напряжения представляют собой синусоидальную функцию времени.

u(x_н,t)=A

Если рассмотреть напряжение вдоль линии в фиксированный момент времени t1 ,то оно представляет собой сумму затухающих синусоидальных функций.Одну называют прямой волной напряжения,вторую-обратной волной напряжения.

Для линии без потерь при α=0 и момента времени t2 амплитуда синусоиды не изменяется.а начальная фаза увеличивается на ω∆t. Кривая как бы передвинулась на значение ∆х = ω∆t/β.

Синусоидальное распределение напряжения (тока) в пространстве по координате х называют бегущей волной. Основные характеристики бегущей волны: фазовая скорость и длина волны.Фазовая скорость-скорость перемещения точки с неизвестным фазовым углом. V_ф= =

Длина волны λ – расстояние,на которое распространяется бегущая волна за период Т: λ= V_ф*Т

Для обратной волны фазовая скорость отрицательна.С энергетической точки зрения важно распределение вдоль линии действительных значений напряжения и тока при известной нагрузке.

Для начала линии х=0 (x)= chγx - I₁ sinγx (x)=- shγx + chγx

Относительно конца линий: (y)= chγy + shγy (x)=- shγy + chγy. Для линии без потерь γ= jβ

Введем комплексное сопротивление нагрузки = .

Входное сопротивление линии в произвольной точке. (y)=

Сопротивление полученных выражений с общим решением для линий без потерь приврдит к выводу,что реализован режим бегущей волны.

Действующие значения выражений напряжения и тока не изменяются вдоль линии.Такой режим работы называют режимом согласования нагрузки с волновым сопротивлением линии.

R_Ω= - для любой точки линии

Для режима разомкнутой линии (y)= cosβy (y)=- sinβy

Распределение модулей действующих значений I(y)=- sinβy

Такое распределение действующих значений вдоль линии называется режимом стоячих волн.

u(y,t)=U_2msinωtcosβy i(y,t)=I_2mcosωtsinβy

В фиксируемой точке линии получаем синусоидальные U и I ,имеющие фазовый сдвиг П/2.Если в различные моменты времени зафиксировать картины распределения U и I вдоль линии,то получим синусоидальные кривые,у которых нулевые точки неподвижны,а изменяется синусоида.

В режиме размыкания выхода активная мощность =0 в любой точке линии.Входное сопротивление линии имеет реактивный характер.

=-jZ_Bctgβy

С энергетической точки зрения оптимальным является режим согласованной нагрузки, поскольку в других режимах имеются отрезки линии с повышенным напряжением и отрезки с большим значением тока. Повышение напряжения затрат на улучшение изоляции для снижения сопротивления утечки и предотвращения пробоя. Большое значение тока приводит к необходимости увеличения сечения проводников добавочному расходу металла. В реальных линиях предпринимаются меры по приближению режима работы линии к согласованному с использованием различных согласующих устройств.