II . Переходные процессы в электрических цепях.

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

1. Основные понятия и принципы анализа переходных процессов.

Такие токи устанавливаются лишь через некоторое время после вкл цепи или после изменения параметров. Могут существовать все время пока к ней приложено напряжение, и параметры остаются неизменными.

Эти токи называются установившимися токами, а соответственно напряжение на отдельных участках установившимися напряжениями.

К каждому установившемуся режиму электрической цепи соответствует строго определенные энергетические состояния

рассеивает

накапливает напряжение

Любое изменение состояния электрической цепи (вкл, отк, изменение параметров и т. д.) называют коммутацией.

Будем считать, что процесс коммутации осуществляется мгновенно. Энергетическое состояние не может изменяться мгновенно.

Если предположить, что ток в цепи изменяется мгновенно от к , то это будет означать, что в индуктивности в этот момент времени индуцируется ЭДС самоиндукции

ток не может изменяться скачкообразно.

Любая ЭДС самоиндукция препятствует изменению тока цепи, поэтому предположение о мгновенном изменении токов цепи не верно!

Законы коммутации:

· Ток в цепи с индуктивностью не может изменяться скачком;

· Напряжение на зажимах конденсатора или другого емкостного элемента не может измениться скачком.

Индуктивные и емкостные элементы являются инерционными. Вследствие чего, для изменения энергет. состояния электрической цепи требуется некоторый промежуток времени в течении которого происходит переходный процесс. Длительность переходного процесса зависит от параметров цепи.

Как и любой динамический процесс, переходный процесс в электрических цепях описывают дифференциальными уравнениями. Режим линейных электрических цепей с постоянными параметрами R, L, C описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Пример:

Полное решение неоднородного дифференциального линейного уравнения находится в виде:

где частное решение неоднородного дифференциального уравнения;

общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Ток поддерживается в цепи напряжением источника питания и является установившемся током (принужденное составляющее). Ток называется свободным током (свободное составляющее), т. к. его определяют в свободном режиме цепи.

6. Переходные процессы в rLC цепи(последовательном контуре).

Подставляя значение тока в исходное уравнение после дифференцирования получаем для U_с дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Заряд на конденсаторе удовлетворяет такому же диф. уравнению:

Дифференцируя это уравнение по времени, получаем аналогичное уравнение для тока:

, ,

Характер свободного процесса зависит только от параметров rLC цепи, т.е. от вида корней харктерестического уравнения.

Характер свободного процесса зависит от знака подкоренного выражения.

2. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением элементов с R и L при подключении ее к источнику постоянного напряжения.

В начальный момент времени тока в цепи нет и энергия магнитного поля катушки равна 0:

После подключения к источнику постоянного напряжения в установившемся режиме существует ток

Следовательно, в то время когда происходит изменение энергии магнитного поля катушки, в цепи имеет место переходной процесс и существует переменный ток как некоторая функция времени

,

частное решение; общее решение.

Решаем однородное дифференциальное уравнение , ,

,

Постоянную интегрирования определяем с учетом первого закона коммутации.

,

где имеет размерность времени. Ее называют постоянной времени цепи. Характеризует скорость протекания переменного процесса. Чем больше , тем дольше существует ток и тем длительнее переходный процесс.

Свободный ток в момент времени t=0 равен по значению установившемуся току I, но противоположен по направлению. С течением времени этот ток уменьшается до 0. Общий ток цепи изменяется по экспоненциальному закону. При .

Постоянная времени равна такому промежутку времени, в течении которого свободный ток уменьшается в раз.

Как правило, уже при ток в цепи отличается от установившегося тока менее чем на 1%, поэтому его можно считать установившемся.

Падение напряжения на резисторе изменяется по такому же закону что и ток

Падение напряжения на индуктивной катушке:

Напряжение убывает с течением времени от значения напряжения источника питания до 0.

7. Общий случай расчета переходных процессов классическим методом.

1) Для цепи после коммутации составляют систему ДУ по 1 и 2 закону Кирхгоффа:

1 контур:

2 контур:

После подстановки Uc в исходную систему уравнений, и диф-ии, получим ситему уравнений для трех неизвестных токов:

2) Независимые начальные условия: ток на индуктивном элементе i_L(0+) после коммутации и U_c(0+) неизвестны. Они определяются из расчета режима цепи до коммутации с применением закона коммутации:

1 закон: i_L(0-)=i_L(0+) 2 закон: U_с(0-)=U_c(0+)

U_c(0-)=E i_L(0-)=I^’=0 Начальные условия будут: U_c(0+)=E и i_L(0+)=0

3)Запишем искомую величину в виде двух составляющих: своб-я и принуждения:

4) Установившемуся состоянию найдем, рассчитав режим цепи, постоянную тока после коммутации:

5) Составим характерестичесое уравнение и найдем его корни. Они могут быть действительные, разные, равные или комплексные сопряженные.

6) Запишем свободную составляющую и пост. интегрирования, обращая внимание на вид корней.

,

,

7) Искомое решение с двумя пост. Интегрирования:

8) Для определения двух постоянных интегрирования запишем полученные решения:

,

Начальное значение тока определим из системы дифференциальных уравнений:

, ,

В этой системе уравнений величины i(0) и U_c(0) были найдены. Следовательно остальные три величины i₁(0), i₂(0) и di/dt (при t=0) можно определить.

9) После определения постоянных А1 и А2, остается подставить их в искомое решение. Для определения других токов и напряжений не требуется заново выполнять все этапы расчета.

,

8. Основные положения операторного метода расчета переходных процессов в электрических цепях.

Операторный метод - основан на использовании понятия об изображении функции времени.

В этом методе каждой функции времени соответствует функция новой переменной (Р), и наоборот функции Р отвечает определенная функция времени.

Основан на преобразовании Лапласса:

Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к умножению, операцию интегрирования к делению, что облегчает интегрирование дифференциальных уравнений.

9. Изображение напряжения на индуктивности.

, , , ,

При i(0)=0:

10. Изображение напряжения на конденсаторе. ,

К моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекавшим через конденсатор, в интервале времени от 0 до t, но и тем напряжением которое на нем было при t=0.

, ,

11. Закон Ома в операторной форме. Внутренние ЭДС.

Замыкание ключа приводит к переходному процессу. До коммутации ток:

Выразим потенциал точки а через потенциал точки b для послеком-мутационного режима:

, ,

К последнему выражению применим преобразование Лапласса:

, , , ,

, ,

z(p) представляет собой операторное сопротивление участка цепи между точками а и b.

L*i(0) – представляет собой внутренний ЭДС, обусловленный запасом энергии в магнитном поле индуктивности вследствие протекания через нее тока i(0) непосредственно до коммутации. Запасена энергия:

U_c(p)/P – внутренняя ЭДС, обусловленная запасом энергии в электрическом поле конденсатора, в следствие наличия напряжения на нем U_c(0) непосредственно до коммутации

Уравнение (*) – закон Ома в операторной форе для участка цепи, содержащее ЭДС, при ненулевых начальных условиях.

Операторная схема замещения:

В частном случае, когда на участке отсутствует ЭДС и к моменту коммутации ток на индуктивности равен 0, и напряжение а конденсаторе до коммутации U_c(0-)=0, закон Ома запишется в виде: - закон Ома в операторной форме для участка цепи, не содержащего ЭДС, и при нулевых начальных условиях.

12. Первый закон Кирхгофа в операторной форме

Алгебраическая сумма операторных токов в узле равна нулю.

13. Второй закон Кирхгофа в операторной форме

Для любого замкнутого контура любой электрической цепи можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений. Предварительно необходимо выбрать положительные направления для токов в ветвях и направление обхода контура.

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура рис. 8.28. Контур обходим по часовой стрелке. Учтем, что индуктивности и связаны магнитно. При выбранных положительных направлениях для токов и между и имеет место согласное включение.

Падение напряжения на равно ;— на составляет . При составлении уравнения учтем, что начальное напряжение на конденсаторе равно . Пусть оно действует согласно с током . Начальное значение тока Имеем

(8.44)

Каждое из слагаемых (8.44) заменим операторным изображением:

(8.45)

Подставив (8.45) в (8.44), объединим слагаемые с и перенесем в правую часть , и другие внутренние ЭДС. В результате получим

(8.46)

где

В более общем виде у-ие (8.46) можно записать так: (8.47)

Уравнение (8.47) представляет собой математическуюзапись второго закона Кирхгофа в операторной форме. В состав в общем случае входят и внутренние ЭДС.

12. Первый закон Кирхгофа в операторной форме.

Применив преобразование Лапласса и воспользовавшись тем, что сумма изображений равна изображению сумм, получим, что сумма операторных токов в узле равна 0:

14. Расчет переходных процессов операторным методом в RC контуре при ступенчатом воздействии.

Схема замещения цепи для L-изображений (L- преобразование Лапласа ):

L- изображение токов в контуре

Найденному изображению согласно таблице соответствий находится оригинал.

Он определяет закон изменения токов в контуре.

При нахождении L-изображения напряжения на ёмкости следует иметь в виду что оно равно сумме L-изображений напряжения на не заряженной емкости и начального условия.

Используя таблицу соответствия и учитывая линейность обратного преобразования Лапласа находим напряжение на конденсаторе как функция времени.

13. Второй закон Кирхгофа в операторной форме.

По второму закону Кирхгофа:

- .

Каждое из слагаемых заменяем операторным выражением:

, , ,

, , ,

второй закон Кирхгофа.

В сумму в общем случае входят и внутреннее ЭДС.

15. Расчет переходных процессов операторным методом в параллельном колебательном контуре при ступенчатом воздействии.

Пусть к параллельному колебательному контуру подсоеденены ступенчатые воздействия тока при нулевых начальных условиях

Нарисуем:

L-изображение воздействия: Операторное:

L-изображение напряжения на зажимах

Используя таблицы соответствия находим оригинал:

По таблице соответствия находим оригинал токов:

Найденные решения соответствуют случаю комплексно-сопряженных полей полинома:

Если воздействие к тому же контуру подведено при ненулевых начальных условиях, то целесообразно использовать схемы замещения реактивных элементов для ненулевых начальных условий, т.е. схемы замещения с источника тока, тогда L-изображения воздействия на контур:

Для нахождения соответствующего оригинала с помощью таблиц следует представить это изображение в виде суммы:

Если , в результате простого преобразования находим выражение для напряжения на контуре в режиме переходных колебаний:

Аналогично могут быть найдены токи в элементах контура.

16. Расчет переходных процессов операторным методом в параллельном колебательном контуре при гармоническом воздействии

Контуру при нулевых начальных условиях подведено гармоническое воздействие t=0.

Пусть частота воздействия совпадает с резонансной частотой контура.

L-изображение воздействия:

,

Последнее выражение находится, если воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Изображению U соответствует оригинал:

При типовых значениях добротности контура

Q>>1 w₁≈w₀

Функция, описывающая колебания, отличается от гармонической тем, что ее амплитуда монотонно возрастает, стремясь к установившемуся значению. Закон, по которому возрастает амплитуда колебания описывается огибающей колебания частотно заполняющего период: .

Принципиально важным является то, что время установления колебания тем больше, чем ярче выражено в контуре явление резонанса.

17. Последовательность расчета ПП операторным методом

1. Из докумматационной схемы определяются токи через катушки индуктивности,и индуктивности и напряжения на конденсаторе (независимые начальные условия)

2. Составляется операторная схема замещения

3. Рассчитывается операторная схема и определяются искомые величины

4. По изображениям находят оригинал искомой величины, используя либо форменные выражения, либо таблицы соответсвия.

18. Расчет переходных процессов методом переменных состояния.

Метод переменных состояния основан на составлении и решении ур-ий состояния - диф.ур. первого порядка, разрешенных отн-но производных. Известно, что расчет ПП сводится к интегрированию диф-го ур-я перв. порядка:

- напряжение, ток, заряд.

- функция, зависящая от параметров источников энергии.

Это уравнение сводят к системе диф.ур. первого порядка путем введения переменных состояния:

, , .

Таким образом, переменными состояния могут быть сама исходная величина и ее производная.

Из уравнений переменных состояния получают систему диф.ур.перв.порядка:

Система ур-ий эквивалентна одному уравнению n-ого порядка.

19. Последовательность расчета переходных процессов методом переменных состояния.

1. Выбирают переменные состояния. Токи в инд.катушках и напряжения на емкостных элементах.

2. Из докоммутационной схемы определяют токи через катушки индуктивности и напряжения на конденсаторах и составляют матрицу начальных значений независимых переменных.

3. Для послекоммутационного режима составляют систему диф.ур.перв.порядка и разрешают ее относительно производных. Через переменные , и параметров источников ЭДС и источников тока. Уравнения состояния получают либо с применением законов Кирхгофа, либо с применением метода наложения, либо с помощью топологических соотношений.

4. Составляют уравнения для выходных переменных (искомых величин), в кот. искомые переменные выражают через переменные состояния и параметров источников энергии. Полученные уравнения удобнее записывать в матричной форме.

5. Решают уравнения состояния и находят закон изменения искомой величины функции времени.

20. Численный метод решения уравнений состояния динамической цепи.

Основой используемых численных методов является вычисление приращений переменных состояния Dx_j за рассматриваемый промежуток времени — шаг интегрирования Dt_k = t_k+1 – t_k = h

Методы численного интегрирования различаются по способу аппроксимации подынтегральной функции в последнем выражении. Наиболее простой вид имеют формулы

· явного метода Эйлера Dx = f_k(x_k, t_k)h = f_kh;

· неявного метода Эйлера Dx = f_k+1h;

· метода трапеций Dx = (f_k + f_k+1)h/2.

Поскольку и последнее выражение содержит значения f_k+1, не известные в начале вычислений на данном шаге, то метод трапеций также является неявным.

Реализация неявных методов требует на каждом шаге решения системы уравнений относительно неизвестных значений x_k+1 в конце данного шага. Выбор шага интегрирования h связан с обеспечением точности и устойчивости численного решения. Обеспечение устойчивости является определяющим при интегрировании так называемых жестких систем дифференциальных уравнений, у которых корни характеристического уравнения резко различаются по модулю.