1 / 2 1 2 следующая > >>

Док-во:Пусть функция f(x) интегрируема на

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Билет 1

Пример.

Исследовать на линейную зависимость такие функции: .

Решение

Исследование проведем в интервале , который представляет собой

область определения заданных функций. Применим правило для определения

линейной зависимости двух функций, указанное в начале страницы. Так как при

имеем: , то данные функции линейно независимы на .

Билет 2

Основные свойства неопределенного интеграла

Билет 3

Билет 4

Билет 5

Билет 6

Дробно-рациональная функция называется правильной,

если степень многочлена, стоящего в числителе, ниже степени

многочлена в знаменателе, и неправильной в противном случае.

Алгоритм:

1.Если дробь неправильная — выделить целую часть. Получим

интеграл от целой части (интегрируется непосредственно) и

интеграл от правильной дроби;

2.Если числитель равен дифференциалу знаменателя (или

отличается от него постоянным множителем), то использовать

замену переменной z=знаменатель;

3.Если числитель равен дифференциалу некого многочлена (или

отличается от него постоянным множителем), а знаменатель равен

степени того же многочлена, то использовать замену переменной

z=знаменатель;

4.В остальных случаях нужно разложить дробь на сумму простейших.

Пример
. = ; =

Общим решением дифференциального уравнения

F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y^{(n )}(x)) = 0

называется функция

y = Ф(x, С₁, С₂, … , С_n),

содержащая некоторые постоянные (параметры) С₁, С₂, … , С_n, и обладающая следующими свойствами:

Ф(x, С₁, С₂, … , С_n) является решением уравнения при любых допустимых значениях С₁, С₂, … , С_m;

для любых начальных данных y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y₁, y ''(x₀) = y₂, … , y^{(n − 1)}(x₀) = y_n_{− 1}, для которых задача Коши имеет единственное решение,

существуют значения постоянных С₁ = A₁, С₂ = A₂, … , С_n = A_n, такие что решение y = Ф(x, A₁, A₂, …, A_n) удовлетворяет заданным начальным условиям.

теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид

y(x,C₁,..., C_n) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + ... + C_ny_n(x),

где C₁,...,C_n — произвольные постоянные.

Теорема. Если и – линейно независимые решения уравнения , то их линейная комбинация , где и – произвольные постоянные, будет общим решением этого уравнения.

Доказательство.

То, что есть решение уравнения (2.3), следует из теоремы о свойствах решений лоду 2-го порядка. Надо только еще показать, что решение будет общим, т.е. надо показать, что при любых начальных условиях , можно выбрать произвольные постоянные и так, чтобы удовлетворить этим условиям. Запишем начальные условия в виде:

Постоянные и из этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, так как определитель этой системы есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений лоду при :

а такой определитель, как мы видели в предыдущем параграфе, отличен от нуля.

Билет 7

Общее решение (8) на отрезке с непрерывными на этом отрезке коэффициентами и правыми частями равно сумме общего решения соответствующей однородной системы (9) и частного решения неоднородной системы (8).( , тогда (6) можно переписать в виде: ,(8) если то (9))

Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

которая в векторной форме записывается в виде

Здесь

Матрица Φ, столбцами которой являются nлинейно независимых на [a, b] решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) однородной линейной системы Y' = A(x)Y называется фундаментальной матрицей решений системы:

Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y' = A(x)Y удовлетворяет матричному уравнению Φ' = A(x)Φ.

Здесь

--------------- Квадратная матрица Φ(t), столбцы которой образованы линейно независимыми решениями x1(t), x2(t), ..., xn(t), называется фундаментальной матрицей системы уравнений. Она имеет следующий вид:

где xij (t) − координаты линейно независимых векторных решений x1(t), x2(t), ..., xn(t).
Заметим, что фундаментальная матрица Φ(t) является невырожденной, т.е. для нее всегда существует обратная матрица Φ −1(t). Поскольку фундаментальная матрица содержит n линейно независимых решений, то при ее подстановке в однородную систему уравнений получаем тождество

Умножим это уравнение справа на обратную функцию Φ −1(t):

Полученное соотношение однозначно определяет однородную систему уравнений, если задана фундаментальная матрица.
Общее решение однородной системы выражается через фундаментальную матрицу в виде

где C − n-мерный вектор, состоящий из произвольных чисел.------

Билет 8

Если функция интегрируема по Риману на отрезке, то она ограничена

на этом отрезке. Зам.: условие ограниченности является необходимым

условием интегрируемости функции по Риману на отрезке.

Док-во:Пусть функция f(x) интегрируема на

[a, b], тогда . По определению интеграла , то есть

для и любого набора точек выполняется:

, отсюда получаем:

Допустим, что функция не ограничена на [a, b], то есть не ограничена

на некотором . Обозначим остальную, не относящуюся к

данному отрезку часть суммы за σ:

,
В силу неограниченности всегда можно выбрать такое ξ*, что

.Получено противоречие,

следовательно интегрируемая функция должна быть ограниченной

Билет 9

Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ → 0, и он не зависит от способа выбора точек ξ _i, способа разбиения отрезка, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x)по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:

Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

которая в векторной форме записывается в виде

Здесь

Умножим это уравнение справа на обратную функцию Φ −1(t):

где C − n-мерный вектор, состоящий из произвольных чисел.

Билет 10

Теорема об оценке интеграла.
Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству , то .
Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство.