4.5.3. Контрольные вопросы для самопроверки

Дата: 2025-05-25; Просмотры: 2

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

1. Какой случай сложного сопротивления стержня называется косым изгибом?

2. Какие напряжения возникают в поперечном сечении стержня при косом изгибе и как они определяются?

3. Как определяется положение нейтральной оси при косом изгибе?

4. В каких точках поперечного сечения возникают наибольшие нормальные напряжения при косом изгибе?

5. Как определяются перемещения поперечных сечений и проводится расчет балок на жесткость при косом изгибе?

6. Какой случай напряженного состояния реализуется в точках контура круглого сечения при изгибе с кручением?

7. Какие случаи напряженного состояния реализуются в точках контура прямоугольного сечения при изгибе с кручением?

8. Как определяются перемещения поперечных сечений и проводится расчет балок на жесткость при изгибе с кручением?

9. Какой знак имеют нормальные напряжения в центре тяжести сечения при внецентренном растяжении или сжатии?

10. Как определяется очертание и положение нейтральной оси при внецентренном растяжении-сжатии стержня?

11. Как проводится подбор размеров круглого и круглого кольцевого поперечных сечений в общем случае сложного сопротивления стержня?

12. Как проводится подбор размеров прямоугольного поперечного сечения в общем случае сложного сопротивления стержня?

4.6. Расчет центрально-сжатого стержня на устойчивость. Построение эпюр внутренних усилий и определение перемещений сечений плоского ломаного стержня и стержневой системы

4.6.1. Задача 6.1

Сжатая стойка, расчетная схема которой представлена на рис. 4.37, выполнена из прокатных элементов, материал Ст3,

R = 200 МПа.

Требуется:

1. С помощью таблицы коэффициентов продольного изгиба подобрать поперечное сечение стойки заданной формы.

2. Подобранное сечение проверить на прочность при наличии ослабления A_nt = 0,85A_br.

3. Определить критическую силу и коэффициент запаса устойчивости.

4. Для подобранного сечения построить график зависимости критической силы и критического напряжения от длины и гибкости стержня, изменяя гибкость от 0 до 200.

Решение

Расчет центрально-сжатого стержня на устойчивость производится методом последовательных приближений.

1. Зададим коэффициент продольного изгиба в первом приближении φ = 0,6. Выразим из условия устойчивости (3.58) площадь поперечного сечения стойки:

По сортаменту выбираем швеллер с ближайшим значением площади, а именно 2[ № 27: А = 35,2 см², I_y = 262 см⁴, i_z = 10,9 см, b = 95 мм, z₀ = 2,47 см.

В данном случае потеря устойчивости будет происходить в плоскости xO y, т.к. очевидно, что => .

,

,

С помощью СНиП определяем значение коэффициента продольного изгиба φ:

λ = 50 – φ = 0,869,

λ = 60 – φ = 0,827.

Для λ = 55,7 определим φ с помощью интерполяции:

Выполним проверку условия устойчивости (3.58):

,

.

Условие (3.58) выполняется, но имеет место большое недонапряжение. Выполним еще одну итерацию. Во втором приближении коэффициент продольного изгиба находится как среднеарифметическое значение между заданным в начале предыдущей итерации (φ = 0,6) и вычисленным для швеллера № 27 (φ = 0,846):

.

Последующие вычисления аналогичны вычислениям, изложенным выше.

По сортаменту выбираем швеллер с ближайшим значением площади, а именно 2[ № 22: А = 26,7 см², I_y = 151 см⁴, i_z = i_x = 8,89 см, b = 82 мм, z₀ = 2,21 см.

Определим значение момента инерции относительно оси y:

С помощью СНиП определим значение коэффициента продольного изгиба φ:

λ = 60 – φ = 0,827,

λ = 70 – φ = 0,782.

Для λ = 64,6 определим φ с помощью интерполяции:

.

Выполним проверку условия устойчивости (3.58):

,

.

Условие (3.58) выполняется, но имеет место небольшое недона­пряжение. Проверим 2[ № 20: А = 23,4 см², I_y = 113 см⁴, i_z = i_x = 8,07 см, b = 76 мм, z₀ = 2,07 см.

Определим значение момента инерции относительно оси y:

С помощью СНиП определим значение коэффициента продольного изгиба φ:

λ = 70 – φ = 0,782,

λ = 80 – φ = 0,734.

Для λ = 75,3 определим φ с помощью интерполяции:

.

Выполним проверку условия (3.58):

Таким образом, условие устойчивости (3.58) не выполняется для 2[ № 20, поэтому окончательно принимаем 2[ № 22. Расчет на устойчивость закончен.

2. Выполним проверку прочности подобранного сечения при наличии ослабления A_nt = 0,85 · A_br:

Сечение, подобранное из условия устойчивости, удовлетворяет условию прочности, корректировку сечения проводить не требуется.

3. Определим критическую силу и коэффициент запаса устойчивости.

Предельная гибкость для Ст3

Сравним гибкость, найденную в п. 1 расчета на устойчивость, с предельной гибкостью: λ = 64,6 < 100. В случае, когда гибкость стержня меньше предельной гибкости, определение критической силы производят с помощью эмпирической зависимости Ясинского (3.56):

Определим коэффициент запаса устойчивости:

4. Для подобранного сечения построим график зависимости критической силы и критического напряжения от длины и гибкости стержня, изменяя гибкость от 0 до 200 (рис. 4.39).

Рис. 4.39

Поперечное сечение состоит из двух прокатных профилей 2[ № 22: площадь одного профиля А = 26,7 см², минимальный момент инерции всего сечения, состоящего из двух профилей, I_min = 2218 см⁴, минимальный радиус инерции i_min = 6,5 см.

Задавая гибкость стержня 62,4 ( для Ст3), 100, 150, 200, будем получать соответствующую этим гибкостям длину стержня:

В интервале 61,4 ≤ λ ≤ 100 определение критических значений следует производить с помощью формулы Ясинского:

В интервале 100 ≤ λ ≤ 200 определение критических значений следует производить с помощью формулы Эйлера:

Для удобства сведем результаты расчета в таблицу.

4.6.2. Задача 6.2

Сжатая стойка, расчетная схема и поперечное сечение которой показаны на рис. 4.40, выполнена из материала Ст3. Коэффициент запаса устойчивости k_st = 1,3.

Требуется: из расчета на устойчивость определить допустимое значение нагрузки F.

Решение

Допустимое значение нагрузки находят по формуле

Критическую силу F_cr находим либо по формуле Эйлера (3.51), либо с помощью зависимости Ясинского (3.56). Выбор формулы зависит от величины гибкости стержня.

Определим минимальный радиус инерции заданного сечения. Очевидно, что i_z < i_y, т.к. ось z перпендикулярна короткой стороне се-

чения.

Предельная гибкость для Ст3 λ₀ ≈ 100. Отсюда λ > λ₀, тогда критическую силу определим с помощью формулы Эйлера:

В данном случае для Ст3 Е = 2∙10⁵ МПа.

Осталось определить только допустимое значение нагрузки.

4.6.3. Задача 6.3

Для ломаного стержня, расчетная схема которого приведена на рис. 4.41, построить эпюры внутренних усилий и определить полное линейное перемещение сечения 1-1 и угол поворота сечения 2-2 от заданной нагрузки.

Рис. 4.41

1. Построение эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил от заданной нагрузки

Отбросив опорные связи и заменив их реакциями этих связей (рис. 4.42), составляем уравнения равновесия, из которых находим реакции опор.

Рис. 4.42

При действии заданной нагрузки ломаный стержень имеет 3 грузовых участка AD, BD, CD. Для построения эпюр внутренних усилий на участке CD, применяя метод сечений, рассмотрим равновесие отсеченной части, показанной на рис 4.43. Выберем начало координат в точке С, ось х локальной системы координат направим вдоль наклонного участка С D влево. Тогда для рассматриваемого участка 0 ≤ х ≤ 5 м. Заменив в сечении действие отброшенной части внутренними усилиями М _F(x), Q (x), N_F(x) положительного направления, составим уравнения равновесия для оставленной части:

из которых находим:

Рис. 4.43

Из полученных выражений видно, что эпюра М _F(x) на участке очерчивается квадратной параболой, а эпюры Q_F(x), N_F(x) – наклонными прямыми. Находим значения внутренних усилий в характерных сечениях участка, учитывая, что sin a = 0,6; cos a = 0,8.

При x = 0

M_F = 0, Q_F = –4·0,6 = –2,4 кН, N_F = –4·0,8 = –3,2 кН.

При x = 2,5 м

M_F = 4·2,5·0,6 – 6 = 6 – 12 = –6 кН·м.

При x = 5 м

M_F = 4·5·0,6 – 6 = 12 – 48 = –36 кН·м,

Q_F = –4·0,6 + 6(5·0,8)·0,8 = –2,4 + 19,2 = 16,8 кН,

N_F = –4·0,8 – 6(5·0,8)·0,6 = –3,2 – 14,4 = –17,6 кН.

По найденным значениям строятся эпюры внутренних усилий на участке С D. Аналогично определяются изгибающие моменты, поперечные и продольные силы на остальных участках. Эпюры М _F(x), Q _F(x) и N_F(x) приведены на рис. 4.44. Отметим, что эпюра изгибающих моментов строится на растянутых волокнах и знаки на ней не ставятся.

Рис. 4.44

Проверка равновесия узла D показана на рис. 4.45.

Рис. 4.45

2. Определение линейного перемещения сечения 1-1

Перемещения определяем, пренебрегая влиянием поперечных и продольных сил. Поэтому для вспомогательных единичных состояний строим только эпюры изгибающих моментов.

Полное линейное перемещение сечения 1-1 может быть вычислено, если будут найдены горизонтальная и вертикальная составляющие этого перемещения.

Чтобы найти значение горизонтальной составляющей полного перемещения сечения 1-1, рассматриваем вспомогательное единичное состояние ломаного стержня (состояние i = 1), прикладывая горизонтальную силу F₁ = 1 в сечении 1-1 (рис. 4.46).

Рис. 4.46

Находим опорные реакции:

Строим эпюру изгибающих моментов М₁ (рис. 4.47), проверяем равновесие узла D по моментам (рис. 4.48).

Рис. 4.47

Рис 4.48

Определяем горизонтальные перемещения сечения 1-1, перемножая эпюру M_F (см. рис. 4.44) с эпюрой M₁ (см. рис. 4.47), учитывая заданное соотношение жесткостей сечений элементов при изгибе (при вычислении интегралов используется как формула Симпсона, так и правило Верещагина). Отметим, что на наклонном элементе ломаного стержня, учитывая характер эпюры М₁, следует рассматривать два грузовых участка.

Знак «минус» полученного значения показывает, что горизонтальное перемещение сечения 1-1 противоположно направлению F₁ = 1, т.е. направлено влево.

Для определения значения вертикальной составляющей полного перемещения сечения 1-1 рассматриваем вспомогательное единичное состояние ломаного стержня (состояние i = 2), прикладывая вертикальную силу F₂ = 1 в сечении 1-1 (рис. 4.49).

Рис. 4.49

Находим опорные реакции:

Проверка:

Строим эпюру M₂ и проверяем по моментам равновесие узла D (рис 4.50).

Рис. 4.50

Перемножая эпюры M₂ и M_F, получаем:

+

Направление вертикальной составляющей полного перемещения совпадает с направлением F₂ = 1, т.е. направлено вниз.

Значение полного линейного перемещения сечения 1-1 равно

3. Определение угла поворота сечения 2-2

Для определения угла поворота сечения 2-2 рассматриваем вспомогательное единичное состояние ломаного стержня (состояние i = 3), прикладывая в сечении 2-2 момент М₃ = 1 (рис. 4.51).

Рис. 4.51

Находим опорные реакции:

Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 4.52). Определяем искомое угловое перемещение:

+

Рис. 4.52

Знак «плюс» θ_2-2 показывает, что направление поворота сечения 2-2 совпадает с выбранным направлением М₃ = 1, т.е. происходит по часовой стрелке.

4.6.4. Задача 6.4

Для плоской стержневой системы, расчетная схема которой приведена на рис. 4.53, требуется:

1. Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил.

2. Определить вертикальное перемещение сечения 1-1 и угол поворота сечения 2-2.

Рис. 4.53

Выполним кинематический анализ заданной системы. Проверим выполнение необходимого условия геометрической неизменяемости:

W = 3D – 2H ­ – C – C₀ ≤ 0.

Система состоит из двух дисков (D = 2), соединенных между собой примыкающим шарниром C (связью второго типа), т.е. H = 1. Линейные связи между дисками системы отсутствуют (С = 0). С неподвижным диском «земля» диски системы связаны четырьмя линейными связями (связями первого типа), т.е. С₀ = 4. Определяем W = 3·2 – 2·1 – 0 – 4 = 0, т.е. необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется.

Делаем структурный анализ. Диск BCD присоединен к «земле» тремя линейными связями (одна в точке D и две в точке B), оси которых не параллельны между собой и не пересекаются в одной точке (рис. 4.54). Следовательно, диск BCD вместе с диском «земля» образуют один диск. К этому неподвижному диску присоединен диск KAC с помощью линейной связи в точке A и шарниром в точке С, причем ось линейной связи не проходит через шарнир С. Таким образом, заданная система является геометрически неизменяемой, неподвижной и статически определимой (W = 0). На рис. 4.54 показана рабочая схема системы: на главную часть BCD опирается второстепенная часть K АС.

Рис. 4.54

Расчет системы ведется в следующей последовательности. Сначала рассчитываем второстепенную часть на приложенную к ней нагрузку (рис. 4.55), а затем главную часть, загружая ее как приложенной к ней заданной нагрузкой, так и давлением со стороны второстепенной части в шарнире C (рис. 4.56).

Рис. 4.55

Рис. 4.56

На рис. 4.55 и 4.56 показаны и выписаны значения реакций, найденных из уравнений равновесия второстепенной и главной частей. Окончательно эпюры M, Q и N для заданной системы приведены на рис. 4.57.

Рис. 4.57

Выполним проверку равновесия всей системы (рис. 4.58).

Рис. 4.58

SX = q · 4 – H_B,F – H_D,F = 4 · 4 – 1,75 – 14,25 = 16 – 16 º 0;

SY = –F + V_A,F + V_B,F = –20 + 10 + 10 = –20 + 20 º 0;

Sm_k = –V_A,F · 1,5 + F · 4,5 + H_D,F · 4 + M – q · 4 · 2 – V_B,F · 11,5 =

= –10 · 1,5 + 20 · 4,5 + 14,25 · 4 + 15 – 4 · 4 · 2 – 10 · 11,5 =

= 162 – 162 º 0.

Для определения вертикального перемещения сечения 1-1 рассмотрим вспомогательное (единичное) состояние системы, прикладывая в сечении 1-1 вертикальную единичную силу (F₁ = 1). Выполняя расчет системы в той же последовательности, что и на заданную нагрузку (рис. 4.59б, в), построим для этого состояния эпюру изгибающих моментов М₁ (рис. 4.59г). Далее по формуле Максвелла–Мора, разбив систему на участки, перемножим эпюры М₁ и М _F, учитывая заданное соотношение жесткостей сечений при изгибе. При перемножении эпюр используем как правило Верещагина, так и формулу Симпсона. Получим:

Рис. 4.59

Для определения угла поворота сечения 2-2 рассмотрим вспомогательное (единичное) состояние системы, прикладывая в сечении 2-2 единичный момент М₂ = 1 (рис. 4.60). Построив эпюру изгибающих моментов М₂ (рис. 4.60г), перемножим ее с эпюрой М _F, также учитывая жесткости сечений при изгибе. Получим:

Рис. 4.60

4.6.4. Контрольные вопросы для самопроверки