Статическая сторона задачи

Дата: 2025-05-25; Просмотры: 6

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Рассматриваемая задача один раз статически неопределима (четыре неизвестных реакций N₁, N₂, V _О, H _О в связях и три уравнения статики для определения этих раций). Из трех уравнений равновесия системы в данном случае удобно использовать только уравнение моментов относительно т. О:

∑ m _О = 0; F∙1,5 + q·4·2 – N₁∙3 + N₂·4 = 0. (1)

Для раскрытия статической неопределимости требуется еще одно уравнение, которое составляется на основе рассмотрения двух других сторон задачи.

Геометрическая сторона задачи

Рассмотрение геометрической стороны задачи предполагает анализ возможной деформации системы и нахождение уравнения связи между деформациями стержней j, k.

Примем в качестве возможной деформацию системы при повороте бесконечно жесткого стержня ОВС вокруг центра вращения О по часовой стрелке на бесконечно малый угол γ (рис. 4.11). В таком случае перемещения ВВ₁, СС₁ узлов системы перпендикулярны и пропорциональны радиусам вращения ОВ, ОС, а деформации стержней равны суммам проекций перемещений концов стержней на направления стержней: Δl₁ = ВВ₁, Δl₂ = –СС₂. Так как СС₂ = СС₁∙cos a = СС₁∙0,8, а ВВ₁/СС₁ = ОВ/ОС = 0,6, то отношение

Δl₁/ Δl₂ = ВВ₁/(–СС₂) = –0,75. (а)

Физическая сторона задачи

Абсолютная деформация стержней (при отсутствии температурного воздействия) определяется как Δl _i = N _i·l _i/ЕA _i. Отсюда следует:

Δl₁ = N₁ · l₁ /ЕA₁ = N₁ · 1 / (2 · 10⁸ · А); (б)

Δl₂ = N₂ · l₂ /ЕA₂ = N₂ · 2 / (1 · 10⁸ · 2·А). (в)

С учетом уравнения (а) и соотношений (б), (в) получим:

(N₁ · 1) / (2 · 10⁸ · А) = –0,75 · (N₂ · 2) / (1 · 10⁸ · 2 · А).

После преобразований придем к соотношению между усилиями:

N₁ = –1,5 N₂. (2)

Решая систему уравнений (1), (2), получим: N₁ = 1058,8 кН, N₂ = = –705,9 кН. Статическая неопределимость задачи раскрыта.

2. Определение параметра А для площадей поперечных сечений.

Из условий прочности для стержней ВЕ и С D

.

Найдем площадь для каждого стержня. Необходимо учесть при этом заданное по условию задачи соотношение площадей:

A_ВЕ = А = N₁ / R_ВЕ = 1058,8 / (200 ·  10³) = 52,9 ·  10^–4 м² Þ А = 52,9 см²;

A_{С D} = 2А = |N₂|; R_{С D} = 705,9 / (120 ·  10³) = 58,8·10^–4 м² = 58,8 см² Þ Þ А = 29,4 см².

Окончательно принимаем наибольшую площадь А = 52,9 см².

3. Расчет по предельной несущей способности

Найдем параметр F_lim, соответствующий предельному состоянию системы. Для этого используем уравнение (1), подставив в него усилия

N_1lim = σ _s,ВЕ ·   A_ВЕ = 300 ·10³·  52,9 ·  10^–4,

N_2lim = –σ _s,СD·   A_{С D} = –180 ·  10³·  2 ·  52,9 ·  10^–4,

соответствующие предельному состоянию:

F _lim ∙ 1,5 + 3/4 F_lim · 4 · 2 – N_1lim ∙ 3 + N_2lim ·4 = F_lim ∙ 1,5 +

+ 3/4F_lim ·  4 ·  2 – 300 ·  10³ ·  52,9 ·  10^–4 –  180 ·  10³·  2 ·  52,9 ·  10^–4 = 0. (3)

Из (3) получим: F _lim = 1653 кН.

Тогда F_adm = F _lim / k = 1653 / 1,5 = 1102 кН > 800 кН.

Таким образом, расчет по предельной несущей способности дает большие значения допустимого параметра F_adm силовой нагрузки, чем расчет с использованием условий прочности и расчетных сопротивлений.