Глава 4. Примеры решения задач по темам индивидуальных заданий (контрольных работ). Контрольные вопросы для самопроверки

Дата: 2025-05-25; Просмотры: 4

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

4.1. Осевое растяжение-сжатие стержней

4.1.1. Задача 1.1. Статически определимая система

Дано: стойка из бетона жестко закреплена на нижнем конце и нагружена силами F₁, F₂ и q, действующими вдоль оси стержня. F₁ = 120 кН, F₂ = 150 кН, q = 40 кН/м, Е = 0,27·10⁵ МПа, R_t = = 0,9 МПа, R_с = 12 МПа.

Требуется:

1. Построить эпюру продольных сил N.

2. Определить требуемые площади поперечных сечений А из условий прочности и соблюдения при этом заданного соотношения площадей на различных участках.

3. Построить эпюру нормальных напряжений σ.

4. Построить эпюру перемещений сечений u.

5. Выполнить проверку жесткости. [Δl] = (0,01 ÷ 0,02) l, [u] = = 0,001 l.

Решение

1. Построение эпюры продольных сил N

Разобьем стержень на грузовые участки. Для построения эпюры необходимо на всех грузовых участках с использованием метода сечений получить выражения для функции продольной силы. При рассмотрении грузовых участков используем локальные системы координат (оси x, y).

Рассмотрим первый грузовой участок.

Рис. 4.2

Вырезая верхнюю часть и составляя уравнение равновесия вырезанной части, получим:

∑_X = 0; N₁(x) + F₁ = 0 = > N₁(x) = –F₁ = –120 кН = const, N_1–1 = = N_2–2 = –120 кН.

Рассмотрим второй грузовой участок:

∑ _X = 0; N₂(x) + F₁ – F₂ = 0 =>

=> N₂(x) = –F₁ + F₂ = –120 + 150 = = 30 кН = const, т.е. N_3–3 = N_4–4 = 30 кН.

Рассмотрим третий грузовой участок: 0 ≤ x ≤ 4 м.

∑ _X = 0; N₃(x) + F₁ – F₂ + q· x = 0 =>

=> N₃ (x) = – F₁ + F₂ – q· x = 30 – 40· x – линейная зависимость.

Тогда при x = 0 N_5–5 = 30 кН, а при x = 4 м N_6–6 = 30 – 40·4 = – 130 кН.

В пределах третьего грузового участка внутреннее усилие меняет знак, найдем расстояние от заделки до сечения, в котором N₃ (x) = 0: x = 130 / 40 = 3,25 м (при этом значении x функция перемещений u₃ (х) имеет экстремум).

Эп. N [кН]

Рис. 4.3

2. Определение площади поперечных сечений А из условий прочности

Зная, что при центральном сжатии (растяжении) s = N(x)/A и учитывая заданное соотношение между площадями на грузовых участках (I, II – 2А, III – А), построим эпюру напряжений через отношения N(x) / A. Эта эпюра строится с целью нахождения опасных сечений. Выполним необходимые вычисления:

s_1–1 = σ_2–2 = N_1–1 / 2 А = – 120 / 2 · А = – 60 / А;

s_3–3 = σ_4–4 = N_3–3 / 2 А = 30 / 2 · А = 15 / А;

s_5–5 = N_5–5 /А = 30 / А;

s_6–6 = N_6–6 /А = – 130 / А.

Эп. N [кН] Эп. s

Рис. 4.4

С помощью эпюры напряжений (Эп. s = Эп. N/ A) найдем опасные сечения. В настоящей задаче будет два опасных сечения, соответствующих экстремальным значениям напряжений (s_min и s_max):

– опасное сечение в растянутой зоне s_max = s_5–5 = 30/А;

– опасное сечение в сжатой зоне s_min = s_6–6 = –130/А.

Условие прочности при растяжении запишется как

s_max = ≤ R_t = 900 кН/м². Отсюда А ≥ 0,0333 м².

Условие прочности при сжатии будет иметь вид:

|s|_min ≤ R_с, |s|_min = ≤ 12000 кН/м². Отсюда А ≥ 0,0108 м².

Сравнивая найденные величины параметра площади сечения, примем к последующему расчету наибольшую, в данном случае найденную из условия прочности при растяжении: А = 0,0333 м².

3. Построение эпюры нормальных напряжений s

Используя найденную из условий прочности величину параметра площади сечения, определяем величины нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня:

s_1–1 = s_2–2 = –60 / А = – 60 / 0,333 = –1,8 · 10³ кПа = –1,8 МПа;

s_3–3 = s_4–4 = 15 / А = 0,45 · 10³ кПа = 0,45 МПа;

s_5–5 = 30/А = 0,9 · 10³ кПа = 0,9 МПа;

s_6–6 = –130/А = –3,9 · 10³ кПа = –3,9 МПа.

4. Построение эпюры перемещений u

Так как в данном случае стержень не подвергается температурному воздействию, выражение (3.5) для функции продольных перемещений сечений на участке i имеет вид:

(4.1)

В данной задаче удобно за u₀ принять перемещение в заделке, т.е. u_6–6 = 0. Назначим начало координат в заделке, направим ось x вдоль стержня так, что положительные перемещения будут соответствовать положительному направлению оси. Определим опорную реакцию R_B:

∑ _X = 0; R_B – F₁ + F₂ – q · 4 = 0; R_B = 130 кН.

Запишем выражения для продольной силы на каждом грузовом участке:

N₃ (x) = – R_B + q · x = –130 + 40 x – линейная зависимость;

N₂ (x) = –R_B + q · 4 = –130 + 40 · 4 = 30 кН – const;

N₁ (x) = –R_B + q · 4 –F₂ = –130 + 40 · 4 – 150 = –120 кН – const.

Найдя значения перемещений во всех сечениях (параболу строят по трем точкам), приступают к построению эпюры перемещений.

Рис. 4.5

Окончательно результаты расчетов представлены на рис. 4.6.

Рис. 4.6

5. Проверка жесткости

Необходимо проверить выполнение условий жесткости: . Здесь ∆l – абсолютная деформация, т.е. перемещение свободного конца стержня, а │ u│_max – максимальное по модулю перемещение сечения стержня, выбирается с помощью эпюры перемещений.

В данной задаче ∆ l = 3,18·10^–4 м, │ u│_max = 3,18·10^–4 м, т.е. максимальное по модулю перемещение сечения и абсолютное изменение длины стержня совпадают.

[Δl] = 0,02·l = 0,02·8 = 0,16 м, [u] = 0,001·l = 0,001·8 = 0,008 м, тогда условия жесткости имеют вид:

0,000318 м < 0,16 м, 0,000318 м < 0,008 м.

Оба условия жесткости выполняются.

4.1.2. Задача 1.2. Статически неопределимая система

Дано: F = 40 кН, q = 10 кН/м, стойка изготовлена из двух различных материалов:

А₁ = 40 см², Е₁ = 2·10⁵ МПа,

α₁ = 12,5 · 10^–6 1/град; А₂ = 80 см²,

Е₂ = 1 · 10⁵ МПа, α₂ = 16,5 · 10^–6 1/град.

Требуется:

1. Определить опорные реакции при действии сил F и q, увеличении температуры на Δt = 60° при наличии монтажного зазора между верхним концом бруса и опорой величиной ∆ = 0,1 мм = 1·10^–4 м.