При прямом поперечном изгибе в различных точках поперечного сечения нормальные и касательные напряжения определяют по формулам

Дата: 2025-05-25; Просмотры: 3
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0

, , (3.29)

где Iz – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси Z; y – ордината точки (слоя) относительно нейтральной оси, в которой определяются напряжения (Mz и y подставляются с учетом знака); – статический момент отсеченной части (момент части площади поперечного сечения, расположенной выше или ниже слоя (точки), в котором определяются касательные напряжения, взятый относительно нейтральной оси Z); b – ширина слоя (сечения), в котором определяются касательные напряжения.

Подбор размеров сечения стержня при прямом поперечном изгибе производят по значению требуемого момента сопротивления, полученного из условия прочности по нормальным напряжениям:

, (3.30)

где R – расчетное сопротивление материала.

Для составных сечений момент сопротивления определяется для наиболее удаленных от нейтральной оси точек поперечного сечения стержня:

(3.31)

 

Подобранное сечение должно удовлетворять нескольким условиям прочности:

· – по нормальным напряжениям;

· – по касательным напряжениям, где RS – расчетное сопротивление на сдвиг;

· – по гипотезе наибольших касательных напряжений;

· – по энергетической гипотезе прочности.

Причем каждое условие записывается для определенной точки поперечного сечения с соответствующими компонентами напряженного состояния и найденными расчетными усилиями.

Проведение указанных проверок подразумевает, что в любой точке любого поперечного сечения стержня рассматриваемые условия прочности должны выполняться.

Расчет по предельной несущей способности. Рассматривается состояние предельного равновесия стержня с образованием пластического шарнира в наиболее «нагруженном» его сечении. Предельный момент в пластическом шарнире

. (3.32)

 

Пластический момент сопротивления определяется как сумма статических моментов верхней и нижней частей поперечного сечения относительно оси, параллельной нейтральной и делящей площадь поперечного сечения на две равновеликие части (Аверх = Анижн).

Расчетный момент, который может воспринять материал сечения, уменьшается относительно предельного при помощи коэффициента запаса k:

.

Тогда требуемый пластический момент сопротивления

 

позволяет определить размеры сечения.

Определение перемещений поперечных сечений стержня при прямом поперечном изгибе (прогибов и углов поворота) проводят при помощи метода начальных параметров. Для этого используют универсальные выражения прогибов, углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил, начальные параметры которых определяют при помощи статических и кинематических граничных условий:

· для прогибов

(3.33)

 

· для углов поворота

(3.34)

 

· для изгибающих моментов

(3.35)

где – начальные параметры.

Для каждого грузового участка балки в универсальных уравнениях исключаются все члены, содержащие в скобках отрицательные значения.

Метод начальных параметров также применим к решению статически неопределимых задач.

3.5.2. Задача 4.1

Для балок, данные нагрузок и размеров которых приведены в табл. 4.1, а расчетные схемы даны ниже, требуется:

1. Определить реакции опор. Построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mz. Определить положение опасных сечений.

2. Из условия прочности по нормальным напряжениям определить размеры поперечного сечения балки в двух вариантах: (а) и (б) (рис. 3.12). Принять R = 200 МПа.

 

а) б)

Y
Z
Z
Y
5δ
3δ
5δ
3δ
δ
ГОСТ 8239–89

 

Рис. 3.12

 

3. Выполнить проверку прочности по касательным напряжениям. Принять Rs = 120 МПа.

4. Для варианта (б) поперечного сечения сделать проверку прочности материала в точке, в которой имеет место неблагоприятное сочетание нормальных s х и касательных напряжений. Применить гипотезы прочности – наибольших касательных напряжений и энергетическую.

5. Для варианта (б) поперечного сечения определить его размеры из расчета по предельной несущей способности. Принять = 240 МПа, k = 1,2.

6. Для заданной балки записать уравнения прогибов и углов поворота по методу начальных параметров. Определить начальные параметры (сечение – вариант (а)).

7. Вычислить значение прогиба на расстоянии 3а (2а) и угла поворота на расстоянии 5а от начала координат.

8. Составить перечень исходных данных для расчета на ЭВМ. Выполнить расчет на ЭВМ. Результаты сравнить с данными, полученными вручную в п. 7.

9. По результатам расчета на ЭВМ построить эпюры углов поворота и прогибов сечений балки.

10. Проверить выполнение условия жесткости балки, приняв , где l – пролет балки (расстояние между опорами, или длина консольной части).

 

Таблица 4.1

 

Вид исходных данных

Варианты исходных данных к задаче 4.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
q, кН/м 20 10 20 10 20 30 40 30 40 30
F, кН 30 50 40 30 40 60 50 80 70 90
M, кН×м 40 20 50 50 50 40 60 50 30 80
a, м 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1

 

Примечание для студентов ВиЗО

1. Выполнение пп. 8, 9 не обязательно.

2. Для п. 10 значение прогиба взять из пп. 6, 7.

 

Расчетные схемы балок к задаче 4.1

1
F
q
M

 

 

q
M
F
F
q
M
2

q
M
F
3

 

 

q
M
F
4

q
M
F
5

 

 

q
F
M
6

F
q
M
7

 

q
M
F

q
M
F
8

9

 

q
M
F

10

11

 

 

q
M
F
q
F
M
12

M
F
q
13

 

q
M
F

14

15

 

q
M
F

M
q
F
q
M
F
16

17

 

q
M
F

q
M
F
18

19

 

F
q
M

q
M
F
20

21

 

 
22

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

 

 


23
M
F
q

 

 

M
q
F
24

M
F
q
25

 

M
F
q

M
F
q
M
F
q
261

271

 

M
F
q

281

29

 

M
F
q

M
F
q
30

31

 

 

M
F
q
32

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

 

3.6. Индивидуальное задание 5 (контрольная работа 5). Сложное сопротивление стержней

3.6.1. Краткие сведения из теории

Сопротивление стержня называется сложным, если оно может быть представлено как сумма нескольких простых видов деформации стержня.

В реальных конструкциях при деформировании стержней присутствуют все виды простых деформаций (растяжение, сжатие, изгиб, кручение, сдвиг). Однако в ряде случаев, пренебрегая влиянием некоторых видов простых деформаций (в силу их малости), мы можем упростить истинную картину сложного сопротивления без существенного ущерба надежности сооружения. К таким упрощенным видам сложного сопротивления относятся: косой изгиб; изгиб с кручением; внецентренное растяжение-сжатие жестких стержней. Если пренебрегать влиянием части простых видов деформации нельзя, то мы имеем общий случай сложного сопротивления стержня.

В той постановке, которая принята в данном учебном пособии при рассмотрении сложного сопротивления стержней, в силу малости деформаций считается применимым принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции).

Косой изгиб – сопротивление прямого стержня действию поперечных нагрузок, проходящих через центры изгиба сечений (то есть не вызывающих закручивания стержня), но не располагающихся только в одной главной плоскости инерции стержня (рис. 3.13). Будем полагать, что центры тяжести и центры изгиба сечений совпадают (сечения имеют две и более осей симметрии либо разницей положения центров тяжести и изгиба можно пренебречь).

а)

б)

 

Рис. 3.13

 

Раскладывая нагрузки в главные плоскости инерции YOX, ZOX, можно рассматривать косой изгиб как сумму двух прямых изгибов стержня.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня равны

(3.36)

где Mz, My – изгибающие моменты в главных плоскостях YOX, ZOX.

Учитывая, что получим уравнение нейтральной оси (н.о.) в виде

Отсюда

(3.37)

Экстремальные нормальные напряжения в сечении возникают в точках . Условия прочности по нормальным напряжениям при косом изгибе стержня имеют вид:

а) (3.38)

б) (3.39)

 

Условия (3.38), (3.39) используются для решения проектных задач при расчете стержня на прочность.