Статически неопределимые системы при растяжении-сжатии и порядок их расчета

Дата: 2025-05-25; Просмотры: 3

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Системы, для определения реакций в связях которых недостаточно уравнений равновесия (уравнений статики), называются статически неопределимыми. Примеры статически неопределимых стержневых систем с растянутыми (сжатыми) элементами показаны на рис. 3.4.

а) б) в)

Рис. 3.4

Пользуясь методом сечений, нетрудно убедиться, что во всех показанных на рис. 3.4 случаях для определения реакций в связях систем недостаточно уравнений равновесия. Для получения недостающих уравнений необходимо, кроме статической, рассмотреть две другие стороны задачи – геометрическую и физическую. Подробнее методика расчета статически неопределимых систем при растяжении-сжатии изложена в [6] и в п. 4.1 данного пособия.

Расчет стержней при растяжении сжатии по предельным состояниям

В рассматриваемом случае условие расчета по несущей способности (прочности) для участка стержня, выполненного из материала с единым расчетным сопротивлением при растяжении и сжатии, записывается следующим образом:

, (3.8)

где N – продольная сила в опасном сечении, зависящая от составляющих вектора расчетных нагрузок на стержень; A – площадь опасного сечения; R – расчетное сопротивление материала; – коэффициент надежности по назначению конструкции, который в дальнейшем будет считаться равным единице.

В качестве условий жесткости (условий расчета по деформациям) в данном случае используются следующие:

; , (3.9)

где |u|_max – максимальное по абсолютной величине продольное перемещение одного из сечений стержня; |Dl| – абсолютная деформация всего стержня, или отдельного его участка; [u], [Dl] – допускаемые значения рассматриваемых характеристик деформации стержня.

Величины |u|_max и |Dl| вычисляются при действии нормативных нагрузок.

Условия (3.8), (3.9) позволяют решать три типа задач:

– поверочная задача;

– проектная задача 1 – подбор сечений стержня;

– проектная задача 2 – подбор параметра нагрузки на стержень.

В том случае, когда стержень выполнен из материалов с различными значениями расчетных сопротивлений, условия вида (3.8) составляются по каждому из материалов.

Для материалов с различными расчетными сопротивлениями при растяжении и при сжатии условия вида (3.8) составляются отдельно для опасных сечений по растяжению и сжатию:

; . (3.10)

Расчет по разрушающим (предельным) нагрузкам

Идея метода расчета конструкций по разрушающим (предельным) нагрузкам основана на предварительном выявлении параметра разрушающей (предельной) нагрузки . Условие надежной работы конструкции записывается в следующем виде:

, (3.11)

где Р_Н – параметр заданной нагрузки; k – коэффициент запаса прочности по нагрузке, учитывающий все факторы, снижающие надежность работы конструкции, k > 1.

Применение метода разрушающих нагрузок имеет смысл прежде всего для пластичных материалов. При определении предельной нагрузки в качестве предельных значений напряжений принимаются пределы текучести материала (материалов) стержня. При этом предельным будет такое состояние конструкции, при котором материалы либо всюду текут, либо конструкция в результате локальной текучести превращается в механизм. В случае статически неопределимых систем использование метода расчета по разрушающим (предельным) нагрузкам позволяет экономить материал при одинаковых коэффициентах запаса прочности по напряжениям и нагрузке.

3.2.2. Задача 1.1. Статически определимая система

Дано: стойка из бетона жестко закреплена на нижнем конце и нагружена силами F₁, F₂ и q, действующими вдоль оси стержня.

Е = 0,27 10⁵ МПа, R_c = 12 МПа, R_t = 0,9 МПа.

Требуется:

1. Построить эпюру продольных сил N.

2. Определить требуемые площади поперечных сечений из условий прочности и соблюдения при этом заданного соотношения площадей на различных участках.

3. Построить эпюру нормальных напряжений σ.

4. Построить эпюру перемещений сечений u.

5. Выполнить проверку жесткости. [Δl] = (0,01–0,02)l, [u] = = 0,001 l. Здесь l – длина стержня.

Таблица 1.1

Варианты расчетных схем к задаче 1.1

1	2	3
4	5	6
7	8	9
10	11	12
13	14	15
16	17	18
19	20	21
22	23	24

3.2.3. Задача 1.2. Статически неопределимая система

Дано: составной стержень из алюминиевых и стальных частей жестко закреплен на нижнем конце и нагружен силами F₁, F₂ и q, действующими вдоль оси стержня.

Для алюминия Е_а = 0,7.10⁵ МПа, α_а = 23.10^–6 1/град.

Для стали Е_с = 2,1.10⁵ МПа, α_с = 13.10^–6 1/град.

Исходные данные взять из табл. 1.2.

Требуется:

1. Определить опорные реакции при действии сил F₁, F₂, и q, увеличении температуры на Δt и при наличии монтажного зазора между верхним концом бруса и опорой величиной = 1 мм.

2. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и перемещений u. Принять параметр площади поперечного сечения А = 20 см².

Таблица 1.2

Варианты расчетных схем к задаче 1.2

1 сталь ал.	2 ал. сталь ал. сталь		3 ал. сталь ал. сталь
4 сталь ал.	5 сталь сталь ал.		6 ал. сталь
ал. сталь 7	8 сталь ал. ал.		ал. сталь 9
ал. сталь 10	11 ал. сталь сталь		12 сталь ал.
сталь ал. 13	14 сталь сталь ал.	15 сталь ал.
16 ал. сталь	17 ал. сталь ал.	18 ал. сталь
19 сталь ал.	20 ал. ал. сталь	21 ал. сталь
22 сталь ал.	23 сталь ал. сталь	24 ал. сталь сталь

3.2.4. Задача 1.3. Статически неопределимая стержневая система

Дано: жесткий стержень, нагруженный силой F, закреплен с помощью шарнирно-неподвижной опоры и двух стержней. Материал стержней – сталь.

Исходные данные взять из табл. 1.3.

Требуется:

1. Определить усилия в стержнях при действии силы F.

2. Определить параметр площади поперечного сечения А из условия прочности R = 200 МПа.

3. Найти значение нагрузки F_s по методу предельного равновесия и допустимое значение силы F_adm. Сравнить F_adm с заданной нагрузкой. Принять предел текучести σ _s = 240 МПа, коэффициент запаса прочности k = 1,2.

Таблица 1.3

Варианты расчетных схем к задаче 1.3

1	2		3
4	5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24

3.3. Индивидуальное задание 2 (контрольная работа 2). Напряженно-деформированное состояние материала в точке. Геометрические характеристики сечений

3.3.1. Краткие сведения из теории

Напряженным состоянием в точке называется совокупность напряжений на множестве площадок, проходящих через данную точку.

Правила знаков: растягивающие нормальные напряжения считаются положительными, сжимающие – отрицательными;

Главными называются площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, соответствующие этим площадкам нормальные напряжения также называются главными. Принята следующая индексация главных напряжений:

. (3.12)

Определение главных напряжений в случае плоского напряженного состояния:

. (3.13)

Определение положения главных площадок:

. (3.14)

Максимальные касательные напряжения определяются по формуле

. (3.15)

Линейные и угловые деформации определяются с использованием обобщенного закона Гука:

(3.16)

где – модуль упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала соответственно, для расчетов нужно выбрать их значения из табл. П.1 (приложение).

Классические теории прочности

Первая теория прочности (используется при линейном напряженном состоянии)	Для пластичного материала . Для хрупкого материала
Вторая теория прочности
Третья теория прочности
Четвертая (энергетическая) теория прочности (используется для пластичных материалов)
Теория прочности Кулона–Мора (используется для хрупких материалов)	, где – расчетные сопротивления мате­риала при растяжении и сжатии