2. Þ функция общего вида.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x = 
с осью Оу: x = 0; y – не существует.
4. х = 0 точка разрыва, 
Þ прямая х = 0 вертикальная асимптота.
Наклонная асимптота в виде: y = kx + b. 
,
Наклонная асимптота у = х.
5. Интервалы возрастания-убывания, точки экстремума функции.
, 
.
6. Для определения характера выпуклости функции находим вторую производную. 
| x | 
| 0 | (0;2) | 2 | (2;+¥) |
|
| y’ | + | 
| – | 0 | + | |
| y’’ | + | 
| + | + | + | |
| y | È | 
| È | 3 min | È | |
|
| ||||||
Пример 16. Провести исследование функции 
и построить её график.
1. Область определения функции 
.
2. Чётность – нечётность:
и 
, значит, функция общего вида.
3. Точки пересечения графика с осями координат:
С осью 
.
Корни многочлена являются делителями его свободного члена. Число 22 делится нацело на 
. Подставим эти числа поочерёдно в многочлен:
не является корнем.
не является корнем.
является корнем. Поэтому многочлен делится нацело на 
и его можно разложить на множители вида:
,
Получаем точки пересечения с осью 
: 
, 
.
С осью 
, т.е. точка 
.
4. Точки экстремума и интервалы монотонности.
Найдём производную 
и точки, в которых производная равна нулю:
На числовой оси отмечаем точки 
и 
. Найдём знаки производной в полученных интервалах и укажем соответствующее поведение функции:
В интервалах 
и 
функция возрастает, в интервале 
функция убывает. В точке 
функция достигает максимума, а в точке 
– минимума:
, 
.
5. Интервалы выпуклости вверх-вниз и точки перегиба.
Найдём вторую производную функции 
и точку, в которой производная равна нулю: 
. Отметим эту точку на числовой оси, найдём знаки 
в полученных интервалах и укажем соответствующее поведение функции:
| В интервале  функция выпукла вверх, в интервале  – выпукла вниз, точка  является точкой перегиба:
 .
У данной функции асимптот нет. Проведённых исследований достаточно для построения графика. Отмечаем в системе координат точки пересечения с осями, точки экстремума и точку перегиба и соединяем их плавной линией.
|
Вопросы для повторения
1. Приращение функции 
в точке 
равно 
. Чему равна производная 
?
2. Чему равна производная функции в точке 
, если касательная к графику функции в точке 
:
а) параллельна оси 
; б) составляет с осью 
угол 
; в) составляет с осью Oy угол 3300?
3. Как найти угловой коэффициент касательной к графику функции 
в точке с абсциссой x=5?
4. 
. Какие асимптоты есть у графика функции ?
5. Назовите основные правила дифференцирования.
6. Запишите таблицу производных основных элементарных функций.
7. В каких случаях приращение функции можно заменить её дифференциалом? Где это используется?
8. Как связан знак производной с возрастанием и убыванием функции?
9. Назовите необходимое и достаточное условия экстремума.
10. Чем отличается максимум от наибольшего значения функции, а минимум от её наименьшего значения?
11.Что такое точка перегиба графика функции?
12. В каких случаях при вычислении предела функции можно применить правило Лопиталя?