Минимум и максимум функции называются точками экстремума.

Дата: 2025-05-25; Просмотры: 2
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0

6.1. Производная, её геометрический и физический смысл

Дифференцирование функции – вычисление производной.

Дифференцируемая функция – функция, у которой есть производная.

Определение производной. – непрерывная функция. – приращением аргумента. Разность – приращение функции. Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:

(6.1)

Геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной к графику функции в точке .

Уравнение касательной к графику функции в точке :

(6.2)

Уравнение нормали к графику функции в точке :

(6.3)

Нормаль касательной в точке

Угол между кривыми и в точке пересечения :

.
в точке касательная к графику функции в точке . в точке касательная параллельна оси Ох. В т. функция достигает максимума: непрерывна в точке , но в точке нет касательной в точке при и при (функция возрастает) при (функция убывает)

Физический смысл производной: – путь, – скорость, – ускорение.

6.2 Вычисление производной. Дифференциал

I . Правила дифференцирования. – дифференцируемые функции

1. Константа: ;

2. ;

3. Сумма (разность): ;

4. Произведение:

5. Константа умножить на функцию: ;

6. Частное: ;

7. Константа разделить на функцию: .

II . Таблица производных

Степенные функции

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

Показательные функции

5. ;

6. ;

Логарифмические функции

7. ;

8. ;

Тригонометрические функции

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

Гиперболические функции

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

Обратные тригонометрические функции

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

Производные высших порядков

Вторая производная – это производная от первой производной: .

n-ая производная – это производная от (n- 1)-ой производной: .

Производные параметрически заданной функции

,

Дифференциал

1. Геометрический смысл дифференциала:
Дифференциал равен приращению касательной к графику функции.

– дифференцируемые функции

2. ;

3. , если x – независимая переменная;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

9. Формула приближённых вычислений : (6.4)

Погрешности вычисления

Найти , если . Тогда , – абсолютная погрешность x. Тогда

.

– абсолютная погрешность функции

– относительная погрешность y.

6.3 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя

Теорема Ролля . Функция

1. непрерывна на [a;b];

2. дифференцируема в интервале (a;b);

3. .

Тогда существует по крайней мере одна точка
( ), такая, что .

Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке параллельна оси Ox.

Теорема Лагранжа . Функция

1. непрерывна на [a;b];

2. дифференцируема в интервале (a;b).

Тогда существует по крайней мере одна точка
( ), такая, что

.

Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке параллельна секущей АВ.

Теорема Коши. Функции и

1. непрерывны на [a;b];

2. дифференцируемы в интервале (a;b);

3. при .

Тогда существует по крайней мере одна точка ( ), такая, что

.

Раскрытие неопределённостей в пределах

Правило Лопиталя. Функции и

1. удовлетворяют условиям теоремы Коши в некоторой окрестности точки ;

2. и существует . Тогда .

Раскрытие других видов неопределенностей

Формула Тейлора. Функция определена в точке и её окрестности и имеет в ней производные до порядка (n+1) включительно. Тогда

, (6.5)

где – остаточный член в форме Лагранжа.

Формула Маклорена:

. (6.6)
             

6.4 Приложение производных к исследованию функций

Определение. Функция имеет локальный максимум (минимум) в точке , если она определена в точке и некоторой ее окрестности , и значение функции в точке больше (меньше), чем ее значение во всех соседних точках:

.

Минимум и максимум функции называются точками экстремума.

Определение. Функция называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на множестве , если её график находится ниже (выше) любой касательной.

Функция выпукла вверх Функция выпукла вниз

Исследование по первой производной

Функция убывает. Функция возрастает

. . При переходе через точку минимума меняет знак с «–» на «+»

. При переходе через точку максимума меняет знак с «+» на «–»

.

Исследование по второй производной . функция выпукла вверх, – выпукла вниз

– точка перегиба

Если вторая производная существует, то в точке максимума , в точке минимума .

В точке перегиба .

План исследования функции и построение её графика

1. Область определения.

2. Чётность: нечётность: иначе – функция общего вида.

3. Асимптоты: 1) вертикальные асимптоты вида в точках разрыва 2-го рода;
2) наклонная асимптота ;
3) горизонтальная асимптота .

4. Точки пересечения с осями: с .

5. Интервалы монотонности и точки экстремума (по знаку первой производной ).

6. Интервалы выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба (по знаку второй производной ).

7. Построение графика.

Наибольшее M и наименьшее m значения непрерывной функции, заданной на отрезке [ a ; b ]

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции, заданной на отрезке , находятся либо в концах отрезка, либо внутри отрезка в точках экстремума.
         

6.5 Примеры решения задач

Пример 1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение. Уравнения касательной и нормали – формулы (6.2) и (6.3).

. .

Уравнение касательной: или .

Уравнение нормали: или .

Пример 2. Найти вторую производную функции и вычислить её в точке .

,

.

Пример 3. Исследовать функцию и построить её график.

Решение. Проведём полное исследование функции.

1. Область определения .

2. . В этом случае говорят, что функция общего вида.

3. Асимптоты. Исследуем точку разрыва на наличие в ней вертикальной асимптоты. Для этого найдём пределы функции слева и справа. Если хотя бы один предел будет равен бесконечности, то в точке будет проходить вертикальная асимптота.

Предел слева: , Предел справа: . Прямая – вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота :

, .

Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика исследуемой функции.

4. Точки пересечения с осями.

С осью , т.е. точки .

С осью , т.е. точка .

5. Интервалы монотонности. Найдём производную и точки, в которых она равна нули или не существует.

,

, .

6. Интервалы выпуклости вверх (вниз).

.

таких точек нет; .

Найденные точки разбивают всю числовую ось на четыре интервала. Определим знаки первой и второй производной и поведение функции в каждом интервале.

 

 

x 1 2 3
y’ – 0 + + 0 –
y’’ + + + – – –
y –2 min –6 max

В точке функция достигает минимума, в точке – максимума:

, .

7. Для построения графика отмечаем точки пересечения с осями координат, точки экстремума и пунктирными линиями наносим асимптоты. Начинаем построение от вертикальной асимптоты. При слева предел функции равен , а при график функции приближается к наклонной асимптоте . Справа от вертикальной асимптоты , а при график функции приближается к наклонной асимптоте.  

Пример 4. Дана функция . Найти: 1) экстремум функции;

2) наибольшее M и наименьшее m значения функции на отрезке [-1, 4].

Решение.1) . Находим точки, в которых производная равна нулю:

На числовой оси отмечаем точки и . Находим знаки производной в полученных интервалах и указываем соответствующее поведение функции:

В точке функция достигает максимума, в точке – минимума:

. .

2) Вначале нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Это и . Но точка , поэтому дальше её не рассматриваем. Затем необходимо вычислить значение функции в концах отрезка и в точке , т.к. она принадлежит отрезку . После этого из полученных значений нужно выбрать самое большое M и самое маленькое m значения.

Таким образом, , .

Пример 5. Найти производные функций.

1) .

2) производная суммы (разности) степенных функций:

.

3) производная произведения: .

4) производная частного:

Пример 6. Выяснить, в какой точке кривой касательная параллельна прямой . Найти уравнение касательной в этой точке.

Решение. Угловой коэффициент прямой равен угловому коэффициенту касательной, так как они параллельны: . Тогда , . В точке касательная к кривой параллельна прямой , её уравнение имеет вид или

Пример 7. Найти точку на кривой , в которой касательная составляет угол с положительным направлением оси . Написать уравнение этой касательной.

Решение. Угловой коэффициент касательной равен производной рассматриваемой функции, поэтому , , . Тогда в точке рассматриваемой кривой касательная составляет угол с положительным направлением оси . Её уравнение , или .

Пример 8. Тело движется по прямой по закону . Определить скорость и ускорение движения тела в момент времени .

Решение. Скорость тела равна производной пути по времени, ускорение – производная скорости: , .

Пример 9. Вычислить приращение длины стороны куба, если известно, что его объём увеличился от 64 до 64,3 м3.

Решение. Если – объём куба, то его сторона . По условию задачи , . Тогда приращение стороны куба м.

Пример 10. Найти асимптоты и построить график функции .

1) область определения D=(-¥;0) È (0;+ ¥). Вертикальная асимптота в точке разрыва х=0:

,

следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонная асимптота:

Т.о., прямая у = х + 2 – наклонная асимптота.

Построим график функции:

Пример 11. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Область определения D=(-¥;-3) È (-3;3) È (3;+ ¥). Вертикальные асимптоты в точках разрыва.

Прямые х = 3 и х = -3 – вертикальные асимптоты кривой.

Степень числителя меньше степени знаменателя, поэтому наклонной асимптоты нет. Найдем горизонтальную:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

Пример 12. Найти асимптоты и построить график функции .

1) D=(-¥; –2) È (–2;+ ¥).

Прямая х = –2 – вертикальная асимптота кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Пример 13. Исследовать функцию и построить ее график.

1) Область определения D= (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). х = 1, х = –1 – точки разрыва.

2) Асимптоты. В точках разрыва вертикальные асимптоты.

Прямые х = 1, х = –1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Наклонная асимптота.

y = x – наклонная асимптота.

3) Четность – нечетность. – нечётная функция. Значит, график симметричен относительно начала координат.

4) Точки пересечения с осями. С осью Ox: y=0, . С осью Oy та же точка.

5) Интервалы монотонности и точки экстремума. Найдем производную функции

,

6) Интервалы выпуклости вверх – вниз, точки перегиба. Найдем вторую производную функции

.

Заполним таблицу:

x 0 1
y’ + 0 – – 0 – – 0 +
y’’ – – – – 0 – – – –
y Ç max Ç Ç 0 Точка перегиба È È min È

 

 

Пример 14. Исследовать функцию и построить ее график.

1). D= ( –¥; +¥).

2). Þ Функция общего вида.

3). Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

с осью Ох: y = 0; x = 1.

4). Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;

у = –х – наклонная асимптота.

5). Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. .

6) Выпуклость вверх-вниз, точки перегиба.

. .

x 0 (0;1) 1 (1;+¥)

y’ – 0 – –
y’’ + 0 – +
y È 1 Точка перегиба Ç 0 Точка перегиба È

 

 

Пример 15. Исследовать функцию и построить ее график.

1. D= ( –¥; 0) È (0;+¥)..