Вопрос 24. Глава. Линейные ОДУ высокого порядка (ЛОДУ ВП)
Определение ЛОДУ ВП, сведение к нормальной СЛОДУ
неизвестная функция
(1) Называется ЛОДУ ВП, 
его коэффициенты
Будем считать, что 
непрерывны на рассмотренном интервале
Если 
то ЛОДУ ВП называется однородным, в противном случае – неоднородным (противоположный случай, когда f хотя бы в одной точке отлична от 0)
Опр. 
называется частным решением (1), если 
и при подстановке в (1) обращает его в тождество
Опр. Совокупность всевозможных частных решений образует общее решение уравнения (1). Сведем (1) к нормальной системе
Пусть 
Тогда (2) 
Всякое решение (1) будет решением (2) и наоборот. Поэтому (1) эквивалентна системе (2) и соответственно его общее решение содержат и произвольных постоянных. Пусть 
произвольный набор чисел ЗК для (1) формулируется следующим образом: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее дополнительным условиям (3) 
. Условия (3) называются начальными условиями ЗК. Легко показать, что ЗК (2) (3) 
Эквивалентна ЗК для СЛОДУ : 
В данном случае 
, 
Из связи ЗК (2) (3) с ЗК для СЛОДУ с непрерывными коэффициентами 
и 
получаем:
Теор. (ТСЕ)
Если 
, то для 
набора 
на всем 
решение ЗК (1), (2) теорема носит глобальный характер
Вопрос 25
Опр. Функции 
называются ЛЗ на 
, если существуют вещественные числа, не все равнее нулю, такие, что при всех 
. В противном случае функции 
называются ЛНЗ на
Утв. Любые (n+1) решений уравнения (1) ЛЗ на 
Док-во: Пусть 
решения уравнения (1) на Составим их линейную комбинацию и приравняем ее к нулю 
. Последовательно дифференцируем это равенство (n-1) раз. В результате получим следующую систему n уравнений 
Зафиксируем 
в этой системе уравнений. 
Относительно переменных 
это однородная система линейных алгебраических уравнений, у которой число уравнений (n) меньше числа неизвестных (n+1), поэтому она имеет бесконечное множество нетривиальных решений. Пусть 
одно из них. Рассмотрим функцию 
. Эта функция является решением уравнения (1). Кроме того, 
. Тогда 
на , а это и означает ЛЗ 
на
Утв. У уравнения (1) на существует n ЛНЗ решений.
Док-во: Пусть 
решений уравнения (1), удовлетворяющих следующим начальным условиям 
. Покажем, что они ЛНЗ. 
Последовательно дифференцируем это равенство n-1 раз 
. Положим 
. С учетом начальных условий (2) получаем 
Отсюда 