Вопрос 18 Неоднородные СЛОДУ. Метод вариации произвольных постоянных
(1) 
непрерывные на 
коэффициенты 
правые части
Рассмотрим соответствующую ОСЛОДУ 
(2)
Теор. 
Док-во: Покажем, что 
решение. 
. Покажем теперь, что любое решение СЛОДУ (1) входит в (3). Пусть 
произвольное решение (1). Рассмотрим разность 
. Покажем, что эта разность удовлетворяет (2). 
. Пусть 
какая-нибудь ФСР ОСЛОДУ (2), тогда 
любое решение 
СЛОДУ (1) может быть представлено в виде 
при некоторых значениях 
Вопрос 19 Метод вариации произвольных постоянных .
Пусть ФСР ОСЛОДУ (1) 
ФМР. Тогда 
, где 
столбец произвольных постоянных. Будем искать решение неоднородной системы в виде (4) 
где 
столбец функций подлежащих определению. Подставим (4) в (1) : 
, 
, 
т.к. ФМР является матричным решением ОСЛОДУ (2), т.е. 
. Тогда 
. После интегрируем каждое из этих уравнений получаем : 
где 
первообразная 
… 
первообразная 
, 
константы. При каком-то конкретном наборе констант, например при 
получим, 
будет некоторым частным решением. Если же оставить произвольными, то получим 
. Тогда получим 
, т.е. все решения СЛОДУ (2)
Вопрос 20. Глава. Линейные системы с постоянными коэффициентами.
ФСР ОСЛОДУ с постоянными коэффициентами.
(1) 
постоянная матрица, т.е. 
Будем искать решение это системы в виде 
Подставим в (1) получим : 
Поскольку 
, то 
. Если нас интересует нетривиальные решения, то 
должно быть нетривиальное решение ОСЛАУ (2) 
квадр ОСЛАУ (2) имеет нетривиальные решения 
Опр. Уравнение 
называется характеристическим уравнением.
Известно, что в поле 
оно имеет n корней с учетом их кратности.
Замеч. Фактически 
являются соответственно СЗ и комп СВ ЛО, имеющего в некотором базисе матрицу А.
Получаем, что 
является нетривиальным решением ОСЛООДУ (1) 
является корнем характеристического уравнения, а 
соответственно СВ.
Построение ФСР ОСЛОДУ (1)
Все корни характеристического уравнения вещественны и различны. Т.е. имеем набор решений 
. Поскольку 
отвечают различным С, то они ЛНЗ. Покажем, что 
образуют ФСР ОСЛОДУ (1), т.е. является ЛНЗ на 
т.к. в столбцах det записаны координаты ЛНЗ векторов 
. 
ЛНЗ на всей 
это ФСР ОСЛОДУ (1)
Замеч. В рассматриваемом случае предполагалось, что А – вещественная матрица и была построена соответствующими вещ ФСР
Если А – комплексная матрица и все корни характеристического уравнения различны, то ФСР 
будет комплекснозначной. Тогда всевозможные ЛК элементов этой ФСР с комплексными коэффициентами дадут всевозможные комплексные решения ОСЛОДУ (1)
Вопрос 21.
(1) постоянная матрица, т.е.
Будем искать решение это системы в виде
Подставим в (1) получим : Поскольку , то . Если нас интересует нетривиальные решения, то должно быть нетривиальное решение ОСЛАУ (2) квадр ОСЛАУ (2) имеет нетривиальные решения
Опр. Уравнение называется характеристическим уравнением.
Известно, что в поле оно имеет n корней с учетом их кратности.
Замеч. Фактически являются соответственно СЗ и комп СВ ЛО, имеющего в некотором базисе матрицу А.
Получаем, что является нетривиальным решением ОСЛОДУ (1) является корнем характеристического уравнения, а соответственно СВ.
Построение ФСР ОСЛОДУ (1)
Пусть А - теперь действительная матрица, все корни характеристического уравнения простые, но среди них имеются комплексные. В этом случае комплексная ФСР строится точно так же, но если нам необходимы только всевозможные действительные решения ОСЛОДУ (1), то необходимо построить действительную ФСР и в этом случае.
Построение действительной ФСР в случае вещественной А, у которой все корни характеристического уравнения простые, но среди них имеются комплексные.
Пусть имеется p вещественных корней 
и 
комплексных корней 
(Если А – вещ и 
корень характеристического уравнения, то 
также корень характеристического уравнения)
Док-во: 
Все корни различны. Рассмотрим комплексную ФСР 
= 
те же действия производим с остальными переменными столбцов кс решений, тогда через q шагов получим 
Таким образом получим систему ЛНЗ действительных решений. Это и будет действительная ФСР. Окончательно, действительная ФСР имеет вид 
т.е. в комплексной ФСР каждая пара 
и 
нами заменена на пару (ЛНЗ) 