Вопрос 6. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
Пусть 
определена в 
. Рассмотрим уравнение 
.
Пусть уравнение 
имеет хотя бы одно решение 
, т.е. 
Теор. (ТСЕ решения ЗК для уравнения 1-го порядка не разрешённого относительно производной)
Рассмотрим ЗК 
1) 
2) 
3) 
тогда в некоторой 
, причем дополнительно выполнено условие 
Док-во: Из условий 1-3 получаем, что уравнение 
задает в некоторой окрестности точки 
(по ТСЕ неявной функции) 
ЗК приобретает вид 
, причем 
непрерывна и 
непрерывна в окрестности точки 
выполняется условие ТСЕ решения ЗК для уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно производной
решение ЗК (3), которое является и единственным решением ЗК (1), (2) удовлетворяющее дополнительному условию 
Замеч. Дополнительная информация о решении необходима для того, чтобы из множества интегральных кривых, проходящий через 
выбрать кривую единственную проходящую по направлению 
может иметь несколько решений 
Рисунок для случая, когда имеется 
. Каждая из ЗК 
имеет единственное решение
Замеч. Нарушение 
решение ЗК, проходящего по заданному направлению чаще всего связанно с нарушением 3 свойства ТСЕ, т.е. если 
. В этом случае ЗК может не иметь решения, а может и иметь, причем возможно неединственное, проходящее по этому направлению
Маленькое дополнение
Допустим, имеется уравнение 
Покажем, что в случае когда уравнение 
имеет по крайней мере один действительный корень, общий интеграл (5) будет 
(6)
Док-во: Пусть 
, тогда 
задает решение 
Рассмотрим выражение . Покажем, что оно неявно задает 
является решением (5) , т.е. обратим его тождество при подстановке. По теореме о неявной функции, задается уравнение (6) 
Вопрос 7. Метод введения параметра. Частный случай
Рассмотрим уравнение 
Известно, что уравнение задает некоторую поверхность в 
. Эта поверхность может быть параметризована следующим образом 
причем для 
выполняется 
. На каждом решении уравнения (6) должно быть выполнено соотношение 
. Из (7) и (8) получаем , что 
а это уравнение для 
, разрешенное относительно производной
Пусть его общее решение имеет вид : 
т.е. на всякой интегральной кривой 
связаны соотношением (9) при некотором значении С. Тогда общее решение исходного уравнения может быть параметрически задано следующим образом 
Частный случай
Если уравнение (6) легко разрешить относительно 
т.е. представить в виде 
, то в качестве параметров выбирают 
по следующей схеме 
Тогда 
общее решение 
общее решение задано неявно 
, где р – параметр
Замеч. Нельзя писать далее, что 
и интегр его, т.к. р – параметр
Рассмотрим
Самый простой случай решения уравнения – разрешить его относительно 
, то есть привести к одному или нескольким уравнениям вида 
и решить их, объединить все решения.Поскольку далеко не всегда удается это сделать , чаще применяется метод введения параметра.