Теор.(Об общем решении неоднородного линейного ОДУ 1-го порядка)
Уравнение Бернулли
(31) 
Уравнение Бернулли решается путем замены переменных 
, где 
сводится к линейному неоднородному уравнению.
Док-во: Разделим обе части (31) на 
(Учитываем, что при 
. Полагаем 
. Тогда 
. Тогда 
линейное неоднородное уравнение относительно 
. Пусть его общее решение 
. Тогда общий интеграл уравнения (31) будет 
(При 
к нему еще присоединяется 
Уравнение Риккати
(41) 
, где 
(41) называется уравнением Риккати
1841 г. Лиувиль доказал, что оно не интегрируемо в квадратурах в общем случае. Но если каким-либо образом известно частное решение этого уравнения, то общее решение можно найти путем сведения его к уравнению Бернулли заменой 
.
Разность любых двух частных решений уравнения Риккати является решением уравнения Бернулли.
Док-во: Пусть 
и 
, тогда
уравнение Бернулли с 
Пусть 
Тогда 
общее решение исходного уравнения Риккати
Вопрос 5. Уравнение в полных дифференциалах
Рассмотрим 
. Пусть 
дифференцируем в G
Опр. Если 
, соответственно 
, то (51) называется уравнением в полных дифференциалах (УПД) в G. Из курса матанализа известно, что необходимое и достаточное условие того, что 
является полным дифференциалом 
в односвязной области G 
Общим интегралом этого уравнения будет соотношение 
Теор. , где 
дифференцируемая функция из определения УПД является общим интегралом УПД
Док-во: 
. С другой стороны , если 
, то 
является решением УПД 
Рассмотрим задачу Коши для УПД:
Общим интегралом первого уравнения является соотношение , с другой стороны поскольку точка 
искомой интегральной кривой , то на ней 
решение ЗК (62) неявно задается соотношением 
. Если 
, то по ТСЕ неявной функции (63) задает 
в некоторой окрестности точки 
. Аналогично, если 
, то (63) задает 
в некоторой окрестности точки 
Теор . (Критерий полного дифференциала в односвязной области 
)
Дифференцируемая форма в односвязанной области 
является полным дифференциалом 
Доказывается в ВТА
Практический способ отыскания 
Рассмотрим ЗК (62) для УПФ
Пусть : 
далее приравниваем 
по теореме из теории интегралов, зависимость от параметра= 
. Соответственно общим интегралом УПД будет соотношение 
а решением ЗК (62) неявно задается соотношением 
Интегрирующий множитель
Пусть 
не является УПД
Опр. Если существует дифференцируемая функция для 
становится УПД, 
называется интегрирующий множителем уравнения (*)
Каким условием должна удовлетворять 
В одной области
или 
, т.е. 
должна удовлетворять уравнению в частных производных 
. В общем случае это уравнение решить еще труднее чем исходное (*). Известно, что при непрерывном дифференцировании 
не обращ в ноль одновременно, инт. множитель уравнения (*) существует.
Их существует 
много(инт. множество), а для того, чтобы решить уравнение, достаточно одной такой функции. Покажем, при каких условиях уравнение (*) имеет интегрирующий множитель специального вида, например
. Обозначение: 
. Тогда 
подставим в (**), получим : 
(***) 
ОДУ
Рассмотрим некоторые частные случаи, когда интегрирующий множитель легко находится.
Пусть не зависит от y, т.е. 
. Тогда инт. мн-ль находится из ур-я: 
Пусть не зависит от x, т.е. 
. Тогда инт. мн-ль находится из ур-я: 
Пусть P(x,y) и Q(x,y) – однор. ф-ии порядка 
. Введем 
, где 