Вопрос 3. Решение ОДУ 1-го порядка в простейших случаях.
В простейшем случае методика решения ОДУ следующая : предположим, что решение 
, подставим его в уравнение и получим тождество. Из тождества равносильными преобразованиями получим общее решение. Проверить подстановкой в уравнение.
Уравнения с разделяющимися переменными
где 
.
Пусть кроме того 
на 
Подставляя сюда предполагаемое решение, получаем тождество, которое проинтегрируем по 
; 
; 
; 
(предположительно это общий интеграл).
Т.к. 
сохраняет знак 
строго монотонная функция 
. Проверим, что (3) определяет общее решение. Пусть 
Тогда 
, т.е. обращают (1) в тождество (3) общее решение, а (2) – общий интеграл.
Замеч. Если в какой-либо точке 
, то функция 
тоже является решением уравнения (1) и его нужно присоединить к (3)
Опр. Выражения 
( M,N- известные функции двух переменных, dx,dy – дифференциалы переменных x, y) называется дифференциальной формой, а уравнения =0 – уравнением в дифференциалах. Его решением называется каждое из решений ОДУ 1-го порядка 
.
Наиболее общий вид уравнения с разделяющимися переменными 
Решается аналогичным образом.
Рассмотрим уравнение 
Оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены 
Док-во: 
(10) 
уравнение с разделяющимися переменными.
Пусть (10) имеет общий интеграл 
Тогда (9) имеет общий интеграл 
Однородные уравнения.
(11) 
(12) 
, где M,N – однородные функции одной степени однородности
Опр. Уравнения (11) и (12) называется однородными ОДУ
Заменой 
, где 
однородные ОДУ сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными
Док-во: 
; 
(12)
К однородным сводятся уравнения вида 
, где 
Док-во: сделаем замену переменных 
, причем 
решение СЛАУ 
Тогда 
. Аналогично 
Вопрос 4. Линейные ОДУ 1-го порядка .
(21) 
Опр.(21) называется линейным ОДУ 1-го порядка. Если 
, то оно называется линейным однородным. В противоположном случае – линейным неоднородным.
Метод вариации произвольных постоянных
1. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение. Оно всегда является уравнением с разделяющимися переменными : 
где 
. Тогда 
так как является решением этого уравнения) общее решение однородного уравнения можно записать в виде 
(где 
2. Для решения неоднородного уравнения сделаем замену переменных. 
где 
Тогда 
. Подставляя 
в (21) получим 
Тогда 