Если не содержит нулевых корней, то систему управления будем называть статич e ской пo отношению к управляющему воздействию. Очевидно, .
При наличии нулевых корней передаточную функцию (3.1) можно представить в виде
, (3.2)
где 
не имеет нулевых корней; 
– количество нулевых корней уравнения 
, т.е. говорят, что передаточная функция содержит s -й степени в чистом виде.
Систему управления с передаточной функцией вида (3.2) будем называть астатич e ской с астатизмом v-го порядка по отношению к управляющему воздействию. Очевидно, (3.1) есть частный случай (3.2) при 
.
Перейдем к рассмотрению характеристик замкнутой системы (рис. 3.1), для которой можно из структурной схемы записать уравнения
, 
. (3.3)
Из (3.3) нетрудно определить эти связи: 
, 
. обозначим 
, 
, 
, тогда 
, 
.
Передаточную функцию 
назовем главной п epe даточной функци e й замкнутой сит e мы, 
– п epe даточной функцией замкнутой сист e мы по возмущ e нию, 
– п epe даточной функци e й замкнутой сист e мы по ошибке.
Если W(s) представлена в виде (3.1), то
; 
; 
, (3.4)
где полином 
, а R(s) – полином, который получается в результате перемножения 
и 
.
Полином 
носит название xap акте p истич e ского полинома замкнутой сист e мы, а уравнение 
– xap акт ep истич e ского у p авн e ния замкнутой сист e мы. Степень полинома определяется величиной n (если m < n) или m (если m > n). Для физически реализуемой разомкнутой системы степень полинома равна n.
Важной характеристикой замкнутой системы является ее дифференциальное уравнение. из уравнения 
, заменяя 
и выражениями (3.4), получим 
и, переходя к оригиналам (или формально заменяя s на оператор дифференцирования p), имеем следующее дифференциальное уравнение замкнутой системы:
v(p) 
. (3.5)
Порядок n дифференциального уравнения (порядок полинома ) будем называть по p ядком сист e мы.
Уравнение (3.5) описывает поведение системы в динамическом режиме, частным случаем которого является установившийся или статический режим. Полагая в (3.5) величины f, v, y = const, а производные этих величин равными нулю, что соответствует p = 0 в полиномах D, N , R, получим уравнение статического режима:
. (3.6)
Величина N(0) = 1, a 
для астатических систем и 
– для статических систем. Таким образом, имеем следующие уравнения статического режима: 
при 
; 
при 
. Значение величины R(0) зависит от вида передаточных функций 
, 
.
По аналогии со звеньями систем можно ввести временные характеристики замкнутой системы, используя соответствующие передаточные функции , 
или 
. Оригинал 
передаточной функции 
замкнутой системы относительно входа v и выхода y определится как 
, а переходная функция как 
.
Аналогично можно определить эти характеристики, используя и 
.
14. Частотные характеристики систем.
Частотные методы анализа и синтеза систем управления находят широкое применение в инженерной практике. По аналогии с частотными характеристиками звеньев можно ввести соответствующие частотные характеристики для системы автоматического управления.
Важным классом частотных характеристик являются частотные характеристики разомкнутой системы, определяемые из передаточной функции W(s). Это амплитудно-фазовая частотная характеристика 
, где 
– АЧХ; 
– ФЧХ; 
, 
– соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики, 
– логарифмическая амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы.