Таким образом, различают число как результат счета элементов множества и число как результат измерения величин (длина, масса, время и т.д.)
Альтернативные программы по математике для начальных классов различаются главным образом способом знакомства ребенка с этими характеристиками числа.
Как и многие математические понятия, понятие натурального числа возникло из потребностей практики.
Простейшим способом сравнения множеств было установление взаимно – однозначного соответствия между множествами, т.е. образование пар элементов из обоих множеств. Если такое соответствие имело место, то множества считались равночисленными (все пары – полные).
Со временем для сравнения стали применять множества – посредники (пальцы, камешки, узелки…) - их называют «числовые фигуры»; на следующем этапе в результате процесса абстрагирования от характера множеств – посредников появилось понятие числа: один, два, три и т.д.
Наука, изучающая числа и действия с ними получила название «арифметика» ( от греческого arithmos – число).
Число - это количественная характеристика множества предметов (группы).
Натуральные числа обозначают при счете реальные предметы. Само по себе число не зависит от характера и свойства предметов множества, т.е. одно и тоже число может символизировать количество объектов какого угодно характера.
Каждая группа ( множество) может быть охарактеризовано только одним числом ( и если при повторном пересчете объектов получается другой результат, это означает ошибку счета).
Цифра – это символ, обозначающий число на письме. Число мы называем и слышим. Цифру мы видим, пишем и называем.
Цифры имеют различное изображение. Общеупотребимы цифры, которые принято называть арабскими (хотя, они имеют индийское происхождение): 1,2,3,4,5,6,7,8,9 и римские: I, ,II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X…
Римские цифры употребляются только в печатном изображении, арабские цифры – в печатном (1,2,3,4,5,6,7,8,9) и курсивном (прописном) изображение (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
В любой из упомянутых систем обозначения чисел больше, чем цифр.
Натуральные или целые положительные числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,… записанные в порядке возрастания, образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел.
Отрезок натурального ряда чисел – это часть ряда вида: 1,2,3,4,5,6,7 или 1,2,3 или 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11. По определению, отрезок натурального числа ряда длиной а - это все числа b, такие что b < a .
Все натуральные числа записать невозможно, поскольку в натуральном ряду нет последнего числа. За каждым натуральным числом следует другое натуральное число.
ОДНОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА
Числа первого десятка называют однозначными. Они обозначены одной цифрой:1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Поскольку число обозначает количественную характеристику множества, его называют количественное натуральное число. (Если мы хотим получить ответ на вопрос: «Сколько?», речь идет о количественном числе).
Фактически при счете элементов множества происходит процесс их нумерации.
Счет - это процесс упорядочивания множества путем присвоения каждому элементу определенного номера. Таким образом, понятие числа также неразрывно связано с представлением о порядке, упорядочивании элементов множества. В этом случае натуральное число представляет собой порядковый номер некоторого элемента и называется в силу этого порядковым числом.
Количественное и порядковое числа взаимосвязаны, при пересчете элементы конечного множества не только расставляются в определенном порядке, но и устанавливается также, сколько элементов содержит множество (последний порядковый номер, называемый при счете, является характеристикой количества элементов множества).
Например: последнее яблоко – пятое, значит их всего пять. Эти две роли натурального числа нашли отражение в русском языке: порядковые натуральные числа выражаются порядковыми числительными (первый, второй, третий и т.д.), количественные – количественными числительными (один, два и т.д.)
Процесс счета подчиняется определенным правилам:
1) первому отмеченному предмету ставится в соответствие число 1 (наименьшее натуральное число);
2) на каждом следующем шаге отмечается (нумеруется) предмет, еще не отмеченный ранее (нельзя считать один и тот же предмет дважды);
3) ему ставится в соответствие число, следующее за последним из уже названных (натуральные числа расположены в строгом равномерном порядке).