Натуральное число как мера величины
Известно, что числа возникли из потребности счета и измерения, но если для счета достаточно натуральных чисел, то для измерения величин нужны и другие числа. Однако, в качестве результата измерения величин будем рассматривать только натуральные числа. Определим смысл натурального числа как меры величины. Эти знания нужны учителю начальных классов не только для обоснования выбора действий при решении задач с величинами, но и для понимания еще одного подхода к трактовке натурального числа, существующего в начальном обучении математики. Натуральное число мы будем рассматривать в связи с измерением положительных скалярных величин – длин, площадей, масс, времени и других.
Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины – длины отрезка.
Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».
Определение: считают, что отрезок х состоит из отрезков х1,х2,…, х n, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.
В том же случае говорят. Что отрезок х разбит на отрезки х1,х2,…, х n и пишут х1 + х2+ х3…+хn
Пусть задан отрезок х, его длину обозначим Х. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим Е.
Определение: если отрезок х состоит из отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единицы длины Е.
Пишут: Х=а•е или а = мЕ(Х)
Например, отрезок х состоит из шести отрезков, равных отрезку е. если длину единичного отрезка обозначить буквой Е, а длину отрезка х – буквой Х, то можно написать, что Х=6Е или 6=мЕ(Х).
Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерение длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольки единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единицы длины Е это число единственное. В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:
1) При переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется. Хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать длину отрезка е1, то мера длины отрезка х будет равна числу 3. Записать это можно так: Х = 3•Е1 или мЕ1(Х)=3
2) Если отрезок х состоит из а отрезков, равные е, а отрезок у-из b отрезков, равные е, то а=b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.
Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и в связи с измерением других величин.
Моро М.И. рекомендует педагогам последовательно рассматривать отрезки натурального ряда чисел: 1,2; 1,2,3; и т.д. до 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. При этом на каждом отрезке рекомендует выполнять однотипную работа по добавлению или убавлению совокупности предметов на 1.
Истомина Н.Б. рекомендует педагогам переходить с учащимися от счёта предметов к записи цифр. При этом натуральный порядок чисел не соблюдать. После того, учащиеся научаться писать все цифры от 1 до 9, им предлагается записать весть отрезок натурального ряда чисел от 1 до 9 (посчитай слоников, запиши цифрами все числа, которые ты называешь; проверь, получился ли у тебя такой ряд чисел: 1,2,3,...,9; подумай, как ты получил каждое следующее число). Таким образом, дети получают отрезок натурального ряда чисел.
Математическую основу действий учащихся при изучении отрезка от 1 до 9 составляет связь чисел с конечными множествами. Для усвоения натурального рядя чисел и принципами его образования, они постоянно обращаются к действиям с предметами, рассматривая различные ситуации (тучка закрыла звёзды, пирамидка и т.д.).
Осознание принципа построения натурального ряда чисел позволяет выполнить присчитывание и отсчитывание по 1. В отличие от счёта, особенность этих операций заключается в том, что одно из предметных множеств представлено натуральным числом.
Операция присчитывания осваивается легче, в этом немаловажную роль играет усвоение порядка чисел при счёте. Иначе обстоит дело с усвоением обратной последовательности чисел, в основе которой лежит отсчитывание по 1. Здесь учащиеся упражняются только в воспроизведении последовательности числительных, что никак не связано с решением практических задач. Для того, чтобы они осознали практическую значимость этого умения, полезно использовать ситуации, особенности которых связаны с движением числа от большего к меньшему:
1) ученик должен двигаться от большего числа к меньшему, однако при все
предметы находятся перед ним, и он может воспользоваться счетом
(почтальон);
2) часть предметов скрыто от глаз, поэтому счет осуществить не возможно
(кинотеатр).
Навыки присчитывания и отсчитывания по одному, доведенный до автоматизма, позволят использовать отрезок натурального ряда в качестве наглядных средства для получения результата при сложении и вычитании.
Арифметический материал для начальной школы включает нумерацию целых неотрицательных чисел и арифметические действия над ними, сведения о величинах, их измерении и действиях над ними, понятие о дробях. Изучение этого материала должно привести учащихся к усвоению математических понятий, а также к овладению прочными и осознанными умениями и навыками.
ПОНЯТИЕ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПЕРВОГО ДЕСЯТКА.
Целые неотрицательные числа называют натуральными в связи с тем, что они были придуманы человечеством для счета элементов реальных множеств, а также для обозначения результатов процесса измерения величин.