Тема: обчислення множинних і часткових коефіцієнтів кореляції

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 12

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

робота №5

Тема: обчислення множинних і часткових коефіцієнтів кореляції

Мета: надбання навичок обчислення множинних і часткових коефіцієнтів кореляції.

1. Основні теоретичні положення

Багатофакторна економетрична модель містить одну результативну ознаку (у) та m факторних ознак (х₁, х₂, …, х_m). Між кожною парою ознак існує кореляційний зв'язок, який можна вимірити кількісно парним коефіцієнтом кореляції

, ;

, .

З цих коефіцієнтів кореляції можна скласти кореляційну матрицю .

Під час побудови цієї матриці керуються таким правилом:

- ознаки нумерують в такому порядку:

Таким чином, i-ому рядку (стовпцю) відповідає (i–1)-а факторна ознака х_i-1;

- на перетинанні i-ого рядка і j-го стовпця розташовують коефіцієнт кореляції між (i-1)-ою і (j-1)-ою ознаками.

Коефіцієнтам кореляції притаманні дві основні властивості:

1) коефіцієнт кореляції ознаки із самою собою дорівнює 1

; .

Дійсно,

.

Аналогічно для ;

2) значення коефіцієнта кореляції не залежить від порядку проходження ознак ; .

Ця властивість випливає з формули коефіцієнта кореляції, у якій зміна порядку проходження ознак призводить до перестановки співмножників, від чого добуток не змінюється.

З цих двох властивостей коефіцієнтів кореляції випливають такі властивості кореляційної матриці:

1) елементи головної діагоналі кореляційної матриці дорівнюють 1;

2) матриця симетрична щодо головної діагоналі, тобто не змінюється при транспонуванні.

Таким чином, в остаточному вигляді кореляційну матрицю можна записати так:

.

Множинний коефіцієнт детермінації визначає частку варіації результативної ознаки (у), що пояснюється варіацією всієї сукупності факторних ознак (х₁, х₂, …, х_m). Обчислюють множинний коефіцієнт детермінації за формулою

, (1)

де – визначник кореляційної матриці;

А_1,1 – алгебраїчне доповнення до елемента матриці, що знаходиться на перетинанні 1-ого рядка і 1-го стовпця.

Алгебраїчне доповнення A_i,j обчислюється за таким принципом

i ,

j

тобто алгебраїчне доповнення A_i,j обчислюється з визначника кореляційної матриці, у якій викреслені i-ий рядок і j-ий стовпець.

Множинний коефіцієнт кореляції R вимірює тісноту кореляційного зв'язку результативної ознаки (у) із усією сукупністю факторних ознак (х₁, х₂, …, х_m)

. (2)

При обчисленні парних коефіцієнтів кореляції передбачається, що вся зміна у викликана впливом лише фактора x_k . У дійсності це не так, оскільки на зміну у крім x_k впливають й інші ознаки, тому істинну (справжню) тісноту кореляційного зв'язку між у і кожною з факторних ознак (х₁, х₂, …, х_m) у випадку множинної кореляції вимірюють частковими коефіцієнтами кореляції

. (3)

При обчислення часткових коефіцієнтів кореляції за допомогою Microsoft Excel можна використовувати і метод, що заснований на обчисленні зворотної матриці. Дійсно, якщо

,

де p=m+1, то зворотна матриця буде дорівнювати

,

де . Остання рівність пояснюється симетричністю кореляційної матриці.

Тоді частковий коефіцієнт кореляції

, (4)

що еквівалентно формулі (2), тому що

.

Таким чином, існує два способи обчислення часткових коефіцієнтів кореляції:

1. Обчислення за формулою (3) на основі алгебраїчних доповнень.

2. Обчислення матриці, зворотної до кореляційної матриці, і обчислення за формулою (4).

2. Завдання

Зібрано статистичні дані про попит на одяг, а також про ціни одягу, взуття, побутових товарів і дохід за період 10 місяців (табл. 1).

Таблиця 1

Попит на одяг, ціна одягу, ціна взуття, ціна побутових товарів і дохід

Необхідно установити ступінь сукупного впливу цін і доходу на попит (обчислити множинний коефіцієнт кореляції і множинний коефіцієнт детермінації, визначити значущість множинного коефіцієнта кореляції), а також ступінь впливу на попит на одяг кожної факторної ознаки окремо (обчислити часткові коефіцієнти кореляції двома способами).

Проаналізувати отримані результати і зробити висновки.

3. Приклад обчислення множинних і часткових коефіцієнтів кореляції

Для сільськогосподарського регіону обчислюється виробнича функція за даними за 10 років (n=10). Факторні ознаки моделі х₁ – основні засоби, х₂ – трудові ресурси, х₃ – земельні ресурси; результативна ознака у – валова продукція регіону.

За звітними даними розраховані парні коефіцієнти кореляції .

Необхідно установити ступінь сукупного впливу перерахованих факторних ознак на величину валової продукції сільськогосподарського регіону (обчислити множинний коефіцієнт кореляції і детермінації, визначити значущість множинного коефіцієнта кореляції), а також ступінь впливу на результативну ознаку кожної з факторних ознак окремо (обчислити часткові коефіцієнти кореляції).

5.1. Обчислюємо множинний коефіцієнт детермінації R², множинний коефіцієнт кореляції R та оцінимо його значущість:

- за вихідними даними складемо кореляційну матрицю

;

- за допомогою убудованої функції МОПРЕД(…) (категорія «Математичні» майстра функцій) знайдемо визначник кореляційної матриці = 0,3869;

- за допомогою убудованої функції МОПРЕД(…) (категорія «Математичні» майстра функцій) знайдемо алгебраїчне доповнення А_1,1 = 0,872;

- розрахуємо множинний коефіцієнт детермінації

.

- обчислимо множинний коефіцієнт кореляції 0,746;

- обчислимо помилку множинного коефіцієнта кореляції

;

- обчислимо коефіцієнт надійності множинного коефіцієнта кореляції

.

Висновок: 55,6% варіації валової продукції сільськогосподарського регіону обумовлено варіацією ресурсів, що враховані в даній моделі, а 44,4% – впливом неврахованих факторів. Щільність кореляційного зв'язку сильна, тому що R>0,7. t_табл = 2,45 (при ). Розрахункове значення статистики Ст’юдента більше табличного, тому множинний коефіцієнт кореляції R є значущим.

5.2. Розрахуємо часткові коефіцієнти кореляції двома способами.

3.2.1. Розрахуємо часткові коефіцієнти кореляції першим способом:

- за допомогою убудованої функції МОПРЕД(…) (категорія «Математичні» майстра функцій) знаходимо алгебраїчні доповнення:

А_1,2 = -0,196; А_1,3 = -0,337; А_1,4 = -0,397; А_2,2 = 0,47; А_3,3 = 0,534; А_4,4 = 0,62.

- розрахуємо часткові коефіцієнти кореляції (формула 3):

;

;

.

3.2.2. Розрахуємо часткові коефіцієнти кореляції другим способом:

- за допомогою убудованої функції МОБР(…) (категорія «Математичні» майстра функцій) обчислюємо матрицю, зворотну до кореляційної матриці

;

- обчислимо часткові коефіцієнти кореляції (формула 4):

;

;

.

Висновок: часткові коефіцієнти кореляції в даному прикладі виявились менше парних коефіцієнтів кореляції, тому що враховують вплив на результативну ознаку (валову продукцію) тільки одного з ресурсів. Тобто дійсна сила взаємозв’зку між валовою продукцією та ресурсами дещо менша та відповідає середньому ступеню зв’язку.

Список Рекомендованої літератури

1. Лук’яненко I.Г., Краснікова Л.І. Економетрика / Підручник. – К.: Товариство «Знання», КОО, 1998. – 494 с.

2. Наконечний С.І. та ін. Економетрія: Підручник / Вид. 2-ге, допов. та перероб. – К.: КНЕУ, 2000. – 296 с.

3. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении: Учебник / В.Н. Кухарев, В.И. Салли, А.М. Эрперт – К.: Выща шк., 1991. – 302 с.

4. статистика: Учеб. пособие для экон. спец. вузов – М.: Высш. шк., 1991 – 399 с.

5. Джонстон Дж. Эконометрические методы / Пер. с англ. и предисл. А.А. Рывкина. – М.: Статистика, 1980. – 444 с.

Укладачі

Трифонова Олена Василівна

Олійник Світлана Павлівна

Шликова Валентина Михайлівна

Методичні вказівки

до лабораторних робіт з дисципліни «Економетрія»

для студентів напряму 6.030601 Менеджмент

Редакційно-видавничий комплекс

Редактор

Підписано до друку . Формат 30х42/4.

Папір Сaptain. Ризографія. Обліково-видавн. арк. .

Умовн. друк. арк. . Тираж прим. Зам. №

ДВНЗ «НГУ»

49005, м. Дніпропетровськ, К. Маркса, 19.