Построение проекций многогранных поверхностей .

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Пример 1: S (АВCD, s ) – призматическая поверхность. Даны проекции геометрической части определителя (рис. 2.1). Построить проекции поверхности, а также горизонтальную проекцию линии m , принадлежащей поверхности. Алгоритмическая часть определителя: l _i Ç ABCD, l _i // s .

Решение:

1. Если направляющая ломаная линия задана четырьмя точками (призма четырехгранная), то начинать построение необходимо с проекций плоского четырехугольника ABCD . Проекции трёх любых точек, например, A, B и C берут произвольно, выдерживая примерное расположение задания, а четвёртую точку –.D строят, как точку плоскости, определённой тремя точками A, B и C. В нашем примере для этого проведены диагонали АС(А₁С₁ и А₂С₂) и В D ( B ₁ D ₁ и B ₂ D ₂ ). Точка D₂ взята произвольно (примерно, как в задании), находим D ₁ .

Рис. 2.1

2. Переходим к построению проекций поверхности. Прежде всего построим проекции рёбер призмы (рис. 2.2). Горизонтальные проекции рёбер проведены параллельно s ₁ , а фронтальные – параллельно s ₂. Поверхность призмы бесконечна, поэтому построим проекции линий обреза, ограничив длину ребер любой произвольной точкой.

_{2 2 2 2} - фронтальная проекция линии обреза. С помощью линий связи построим ее горизонтальную проекцию – _{1 1 1 1} (рис. 2.3).

Рис. 2.2 Рис. 2.3

Для того, чтобы обвести проекции поверхности основной сплошной линией, необходимо определить видимость (рис. 2.4).

Точки 1 и 2 (1₁ = 2₁) - горизонтально конкурирующие, точка 2 выше, чем точка 1.

Точки 3 и 4 (3₂=4₂) - фронтально конкурирующие, точка 4 ближе к наблюдателю, чем точка 3.

Ребра С_{2 2} и D_{1 1} частично видимые, т.к. поверхность (в данном случае призма) - это пустотелая геометрическая фигура, имеющая только боковую поверхность.

3. Решение задачи заканчивается построением проекций линии на поверхности (рис. 2.5).

Рис. 2.4

В нашем примере m ₂ дана, m ₁ надо строить. Линия, лежащая на нескольких гранях призмы может быть только ломаной. Поэтому, обозначив вершины этой ломаной K ₂ , L ₂ , M ₂ и N ₂ , построим горизонтальные проекции этих точек на проекциях соответствующих рёбер и соединим их, учитывая видимость.

Рис. 2.5

Построение проекций кривых линейчатых развертывающихся поверхностей.

Пример 1. S ( m , S ) – коническая поверхность общего вида. Даны проекции геометрической части определителя (рис. 2.6). Построить проекции поверхности, фронтальную проекцию линии n , принадлежащей поверхности. Алгоритмическая часть определителя:

l_i Ç m , l_i É S .

Рис. 2.6

Решение:

1. Построение проекций поверхности следует начать с проекций крайних образующих, т.к. направляющая кривая m - разомкнута. Это образующие SA и SB (рис. 2.7). Далее следует построить проекции линий контура (очерковых образующих) относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций. Для фронтальной проекции очерковыми образующими являются образующие SC и SD. Для горизонтальной проекции это образующие SE и SF. Очерковые линии S ₁F₁ и S ₁ E₁ проводятся как касательные к кривой m ₁ из S₁.

Рис. 2.7

2. Рассмотрим определение видимости очерковых образующих SA и SB относительно П₁ (рис. 2.8). Для этого можно воспользоваться горизонтально конкурирующими точками, например, B и K.

Аналогично решается вопрос видимости образующих SA и SB относительно плоскости П ₂. Для этого воспользуемся фронтально конкурирующими точками, например, А и М.

3. Переходим к построению фронтальной проекции линии n, принадлежащей поверхности (рис. 2.9). Задана горизонтальная проекция линии п(n₁). Линия n – плоская кривая, следовательно, n ₂ - тоже кривая. Выделим главные точки кривой.

Главными являются точки:

1 и 8 – точки, ограничивающие кривую.

2 и 7 – точки, находящиеся на очерковых образующих относительно плоскости П ₁ - SE и SF.

3 и 6 – точки, находящиеся на очерковых образующих относительно плоскости П ₂ - SD и SC.

Точки 4 и 5 являются промежуточными. Построение фронтальной проекции кривой сводится к определению проекций указанных точек на фронтальных проекциях соответствующих образующих.

Рис. 2.8 Рис. 2.9

Пример 2. S ( m , l ) – цилиндрическая поверхность общего вида. m – направляющая, l – образующая. Даны проекции геометрической части определителя (рис. 2.10). Построить проекции поверхности. Алгоритмическая часть определителя: l_i Ç m , l_i // l .

Решение:

1. Построить дискретный каркас из 8 – 10 образующих и линии обреза (рис. 2.11). Для цилиндрических поверхностей одну проекцию линии обреза надо задать произвольно, а вторую построить. Например, задана фронтальная проекция n ₂ линии обреза, а горизонтальная проекция построена по принадлежности точек образующим этой поверхности. Рис. 2.10

т – направляющая,

п – линия обреза,

l – образующая,

Рис. 2.11

2. Определить видимость очерковых линий поверхности относительно П₁ и П₂ по конкурирующим точкам (рис. 2.12). Направляющая т видна относительно П₂, так как точка 1, принадлежащая ей, расположена ближе точки 2. Относительно П₁ видна образующая l, так как ей принадлежащая точка 3 расположена выше точки 4.

1 Î т;

2 Î l ;

3 Î l ;

4 Î т.

Рис. 2.12

Построение проекций поверхностей вращения.

Любую поверхность вращения можно задать определителем, в состав которого входят ось вращения i и образующая l : S (i, l). Алгоритмическая часть определителя заключается в названии. Т.е. название «поверхность вращения» означает, что каждая точка образующей l , вращаясь вокруг оси i, описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна этой оси. Обычно ось поверхности вращения располагают перпендикулярно какой-либо плоскости проекций. Поэтому одна проекция окружности – параллели всегда представляет собой окружность истинного вида, а вторая проекция – есть отрезок, равный по длине диаметру окружности. Например, для точки A(A₁ , A₂) это окружность

с (с ₁ ,с ₂ ) (рис. 2.13).

Пример 1: Построить проекции поверхности вращения общего вида S ( i , l ), заданной проекциями геометрической части определителя (рис. 2.13). Построить горизонтальную проекцию линии а, принадлежащей поверхности.

Рис. 2.13 Рис. 2.14

Линия l – плоская кривая, расположенная в плоскости главного меридиана поверхности. Ось i ^ П ₁ , поэтому горизонтальная проекция поверхности ограничена тремя окружностями. Это: n ₁ - горизонтальная проекция горла, m ₁ - горизонтальная проекция экватора и k ₁ - горизонтальная проекция окружности обреза. Фронтальные проекции этих окружностей вырождаются в отрезки. Это соответственно, n ₂, m₂ и k ₂ (рис. 2.14).

Для построения линии l ₂ ¢ (левого полумеридиана) следует взять 8-10 произвольных точек. Обводим проекции поверхности с учетом видимости (рис. 2.15).

Для построения проекции кривой a(а₁) на П₁ необходимо взять несколько точек на a ₂ (порядка 6-8 точек) (рис. 2.16).

Построение линии a ₁ показано с учётом видимости кривой относительно плоскости П ₁ , исходя из условия, что a ₂ задана как видимая.

Главными являются следующие точки: точки 1 и 6 – ограничивающие кривую, точки 3 и 5 – отделяющие видимые участки кривой от невидимых.

Рис. 2.15 Рис. 2.16

Пример 2. Построить проекции поверхности вращения общего вида Ф(i,l). Достроить недостающие проекции точек А, В, С (рис. 2.17).

Решение:

В этой задаче проекции образующей l(l₁,l₂) не лежат в плоскости фронтального меридиана, поэтому нам необходимо повернуть образующую так, чтобы она оказалась в одной плоскости с осью вращения.

Каждая точка образующей на П₁, вращаясь вокруг оси i₁, опишет траекторию окружности - параллель, на П₂ ее проекция проецируется в прямую линию ^ i₂.

1. Возьмем на образующей l(l₁,l₂) 6 точек (рис. 2.18).

Введем каждую точку в плоскость фронтального меридиана. Например, точка 1 опишет наибольшую, верхнюю параллель (экватор), точка 6 - наименьшую, нижнюю параллель (горло). Аналогичные построения проведем с остальными точками Þ правый полумеридиан.

2. Симметрично правому полумеридиану достраиваем левый (рис. 2.19). Обводим основной толстой линией проекции поверхности.

Рис. 2.17

3. Для построения недостающих проекций точек А, В, и С необходимо определить зоны видимости:

а) все точки, принадлежащие поверхности, относительно П₁ будут видимы (изнутри).

б) видимость относительно П₂ на рис. 2.20 показана заштрихованной зоной. Для построения горизонтальной проекции точки А(А₁) необходимо:

- через точку А₂ провести параллель радиусом R (от оси до очерка) (рис. 2.20);

- на П₁ строим проекцию этой параллели радиусом R;

Рис. 2.18

- проводим линию связи от точки А₂ до пересечения с параллелью в заштрихованной зоне, т.к. точка А₂ - видима;

- проекция точки А(А₁) будет видимой.

Для построения точки В(В₁) проводим аналогичные построения.

Рис. 2.19

Рис. 2.20

4. Горизонтальная проекция точки С₁ расположена в незаштрихованной зоне, т.е. за плоскостью фронтального меридиана, следовательно, фронтальная проекция точки будет невидимой. На П₁ через точку С₁ проведем параллель радиусом R ¢¢ до пересечения с горизонтальной проекцией

Рис. 2.21

левого полумеридиана в точке, которую обозначим звездочкой.

Построим фронтальную проекцию этой точки и проведем через нее фронтальную проекцию параллели, которой и будет принадлежать точка С₂ (рис. 2.21).

Пример 3. Построить проекции конуса вращения Ф(i,l), у которого ось вращения занимает положение горизонтали. Линия а(а₁) Ì F, а₂ =? (рис. 2.22).

Для конусов вращения линия обреза задается окружностью.

Если ось вращения есть горизонталь или фронталь, то одна проекция окружности вырождается в отрезок прямой, перпендикулярный проекции оси и равный диаметру окружности. Другая проекция этой линии представляет собой эллипс. Большая ось эллипса занимает положение горизонтально проецирующей прямой. Малая ось эллипса занимает положение горизонтали.

Рис. 2.22

Разница между большой и малой осями эллипса не должна быть слишком большой или слишком малой. Поэтому угол наклона проекции к оси вращения рекомендуется задавать от 35 до 47° . Для более точного задания эллипса необходимо построить не менее 12 точек.

Очерковые образующие конуса следует проводить касательными к эллипсу, точки К₂ и - точки касания. Чтобы построить проекцию линии а(а₁) на П₂ (а₂) на а₁ отмечают несколько точек (чем больше, тем точнее будет построена кривая), проводят через них образующие и находят их проекции на соответствующих образующих на П₂ (рис. 2.23). Главными точками являются точки, принадлежащие очерковым образующим : 1, 6 и 8 и точка 5 – наивысшая точка. Точка 6 является границей видимости линии а на П₂.

Рис. 2.23

Пример 4. Построить проекции поверхности кольца L(i,l). Обозначить проекции горла n( n₁, n₂) и экватора m( m₁, m₂), А(А₂), А₁ =? В(В_1,) В₂= ? (рис. 2.24).

Каждая точка образующей на П₁, вращаясь вокруг оси i₁ опишет траекторию окружности - параллель, фронтальная проекция параллели проецируется в прямую линию ^ i.

1. Строим проекции правого полумеридиана (рис. 2.25).

2.Достраиваем симметрично проекции левого полумеридиана (рис. 2.26).

Рис. 2.24

Рис. 2.25 Рис. 2.26

3. Строим недостающие проекции точек А и В. Определяем видимость этих точек относительно П₁ и П₂, обозначаем проекции горла и экватора (рис. 2.27).

Рис. 2.27

Построение проекций винтовых поверхностей.

К винтовым поверхностям относятся прямой и наклонный геликоиды. При построении этих поверхностей следует помнить, что они являются линейчатыми и на комплексном чертеже задаются дискретным каркасом.

Пример 1. Построить проекции прямого геликоида. Геометрическая часть определителя прямого геликоида F ( i , m ), где i – ось, m - направляющая винтовая линия (рис. 2.28). Алгоритмическая часть определителя:

l_i Ç i , l_i Ç m , l _i ^ i, т.е. все образующие являются горизонтальными прямыми. Линия а(а₂) Ì F , а₁ =?

1. Дискретный каркас строим из 13 образующих, поэтому на горизонтальной проекции винтовой линии т берем 13 точек (рис. 2.29). Рис. 2.28

Строим горизонтальную проекцию линии a, принадлежащей поверхности (рис. 2.30). На a ₂ отмечаем точки, принадлежащие образующим, и находим их горизонтальные проекции. Между образующими 6 и 5, 7 и 6 проведены дополнительные образующие, так как образующая, проведенная из точки 6, занимает проецирующее положение. Таким образом находим горизонтальную проекцию линии а, кривую а ₁.

Рис. 2.29 Рис. 2.30

4.2.4. Методические рекомендации к решению задачи № 3

Чтобы решить позиционную задачу, нужно ответить на три вопроса:

1. Что? Определить, что будет являться общим элементом пересекающихся геометрических фигур (точки, ломаная линия, контур из плоских кривых, пространственная кривая и т. д.).

2. Сколько? Нужно знать характер пересечения геометрических фигур (чистое проницание, частный случай проницания – касание, вмятие).

3. Как? Выбрать соответствующий алгоритм решения, т.е. определить расположение пересекающихся геометрических фигур относительно плоскостей проекций (1 алгоритм, 2 алгоритм или 3 алгоритм).