Санкт-Петербургский государственный экономический университет (СПбГЭУ)

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации

Национальный исследовательский университет ИТМО

(Университет ИТМО)

Региональная студенческая

математическая олимпиада

Санкт-Петербурга

2022 г.

Санкт-Петербург

2022

В 2000-2022 гг. студенческая олимпиада г. Санкт-Петербурга по математике проводилась Национальным исследовательским университетом ИТМО (до 2019 года носившим название Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, а до 2011 - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, СПбГУ ИТМО). В 2022 году каждый вуз мог выставить на олимпиаду одну команду из трех человек (в командный зачет входили все участники команды) и студентов в личный зачет. В личном зачете участвовали все заявленные студенты. Результат вуза в командном зачете определялся по результату его команды.

Олимпиада проводилась в воскресенье 23 октября 2022 года. На решение задач отводилось 4 часа. Пользоваться печатными или электронными справочниками не разрешалось. Студентам всех групп было предложено 9 задач. Каждая задача оценивалась в 10 баллов.

Председателем жюри был профессор Н.А.Широков. В оргкомитет олимпиады входили: проректор Университета ИТМО д.т.н., проф. Никифоров В.О., зам. Нач. ДНИиР Студеникин Л.М., нач. ДОД Багаутдинова А.Ш., директор УЦСНКиВ Елисеев О.В.,, руководитель СПИБ Юшков Е.Ю., проф., д.ф.-м.н Попов И.Ю., PhD, н.с. Аксенов В.Е., доц., к.т.н. Блинова И.В., к.ф.-м.н. Трифанова Е.С., к.ф.-м.н. Трифанов А.И, доц.., к.ф.-м.н. Попов А.И.; к.т.н. Правдин К.В., к.ф.-м.н. Бойцев А.А., вед. инж. Коченюк Т.Г.

Составители: проф., д.ф.-м.н. Широков Н.А., д.ф.-м.н. Попов И.Ю.; доц., к.ф.-м.н. Трифанова Е.С., к.т.н. Блинова И.В., к.ф.-м.н. Трифанов А.И., к.ф.-м.н. Попов А.И., к.т.н. Правдин К.В., PhD Аксенов В.Е., асс. Бабушкин М.В.

Задачи региональной олимпиады студентов вузов Санкт-Петербурга 23.10.2022

1.Даны векторы , и длины 1 на плоскости. Докажите, что можно подобрать знаки так, что .

2. Вычислить определитель порядка 2022, общий элемент которого равен числу делителей наибольшего общего делителя чисел .

3. Вычислить интеграл .

4. Пусть бесконечный в обоих направлениях ряд сходится равномерно на (-1,1). Какую функцию он представляет?

5. Пусть все корни вещественного полинома имеют первую кратность и среди них положительных. Пусть число перемен знака в последовательности коэффициентов полинома. Доказать, что

6. Пусть гладкая функция , где не зависит от , является при , решением уравнения и удовлетворяет условиям Найти .

7. Найти все непрерывные функции , , если

при всех , , , .

8. Прозрачный двугорбый верблюд стоит на экваторе в ясный полдень, когда солнце в зените. Поверхность спины верблюда описывается уравнением . На спине в точке сидит гусеница. Желая получше оглядеть окрестности, она решает заползти на вершину ближайшего горба. При переползании гусеница все время движется в направлении наибыстрейшего увеличения высоты, наблюдает за движением ее тени на плоской горизонтальной поверхности земли и размышляет; «А существует ли пара точек на плоскости таких, что разность расстояний от точки моей тени до каждой из этих точек не меняется при моем движении?». Ответьте на вопрос гусеницы и объясните ответ. Считать, что при прохождении через верблюда свет не преломляется.

9. Дана непрерывная функция такая, что существует натуральное , что для всех . Докажите, что .

Решения

1. Решение. Отложим все векторы от центра O. Если концы не составляют треугольник с острыми углами, тогда они все лежат на одной половине окружности радиусом 1 с центром О. Отразим один вектор (центральный) и получим остроугольный треугольник. Пусть новыми векторами будут --- где два вектора из · с плюсом, а один с минусом (тот, что отражен). Пусть . Найдем скалярные произведения: , , . Тем самым, точка является центром пересечения высот остроугольного треугольника, а, значит, лежит внутри описанной окружности радиуса 1.

2. Ответ:. 1.

Решение. Пусть где равен 1, если делитель , то есть это треугольная матрица с единицами на диагонали. Тогда матрица будет равна , где - транспонированная матрица. Тогда ..

3. Ответ:

Решение.

.

4. Ответ: .

Решение. Обозначим сумму ряда . Поскольку ряд сходится равномерно, его можно почленно дифференцировать. Но тогда . Значит, .

5. Решение. Пусть положительные корни полинома . Полином можно представить в виде ,

где полином степени с вещественными коэффициентами. У количество перемен знака у коэффициентов не меньше нуля, соответственно, у оно не меньше 1. Поясним это. Рассмотрим

Умножение на -1 не меняет количество перемен знака, поэтому можно считать, что положительно. Если в последовательности на каком-то месте происходит смена знака, например, , то у последовательности на соответствующем месте тоже появится другой знак так как , то есть количество изменений знака не уменьшится, да еще добавляется коэффициент c добавочным изменением знака, то есть количество изменений знака увеличится хотя бы на 1.

Далее, у количество изменений знака не меньше 2, и так далее, наконец, у оно не меньше , что и требовалось доказать.

6. Ответ.

Решение. Введем переменную . После подстановки функции в уравнение получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции : . Проинтегрируем уравнение по всей оси, получим

. Поскольку имеем . Значит, . Отсюда получаем . Значит .

7. Ответ: .

Решение. Обозначим интеграл . Переходя к полярным координатам, получаем . Полагая , имеем . Тогда равенство (1) принимает вид

(2)

Дифференцируя обе части равенства (2) по , приходим к уравнению

(3)

Из (3) , или .

С учетом условия , вытекающего из (2), получаем . Тогда из (3) находим .

8. Ответ: Существует.

Решение. По условию задачи тень движется по плоскости ортогонально линиям уровня функции , то есть по направлению . Покажем, что линия является траекторией тени гусеницы. Удобно преобразовать его к виду . Кривая проходит через точку . Осталось проверить ортогональность градиентов: .

Кривая является гиперболой, у которой искомая пара точек существует.

9. Решение. Покажем, что отображение взаимно однозначно. Если ,то и, тем самым, --- биекция. Так как непрерывная, то она либо строго возрастающая, либо строго убывающая. Допустим, она убывает. Тогда .Тогда для любого функция отрицательная. Противоречие. Поэтому получается строго возрастающей. Теперь найдем . Пусть . Тогда, .. С другой стороны, .. Получается, что или . Пусть , тогда и ,, что противоречит возрастанию Поэтому . Так как функция обратима, то получим . Поэтому .

Применяя неравенство Янга для возрастающей функции, получаем:

.

Применяя теперь неравенство Коши-Шварца, получаем для правой части неравенства:

.

Отсюда

.

Вычисляя первый из интегралов в правой части и возводя неравенство в квадрат, приходим к искомому неравенству.

Количество участников, решивших задачи (определено по формуле: полная сумма набранных всеми участниками баллов за задачу, деленная на 10 (стоимость задачи)).

В олимпиаде приняли участие студенты следующих университетов:

Университет ИТМО

Санкт-Петербургский государственный экономический университет (СПбГЭУ)

Военная академия связи имени С.М. Буденного (ВАС)

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (ГУАП)

Государственный университет морского и речного флота им. адм. С.О. Макарова (ГУМРФ)

Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского (ВКА)

Военный институт (инженерно-технический) (ВИИТ)

Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

Санкт-Петербургский горный университет

Балтийский государственный технический университет "Военмех" им. Д.Ф. Устинова (БГТУ, ВОЕНМЕХ)

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ имени В.И.Ульянова (ЛЭТИ)"

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет (ТИ)

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (СПбГПУ)

Российский государственный педагогический университет им. А.И.Герцена (РГПУ)

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет (СПбГАСУ)

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича(СПбГУТ)

Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Санкт-Петербургский филиал (ВШЭ)

Российский государственный гидрометеорологический университет

Санкт-Петербургский университет Государственной противопожарной службы Министерства РФ по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациями ликвидации последствий стихийных действий (УГПС МЧС)

Результаты в командном зачете:

Результаты участников, вошедших в командный зачет

Личное первенство:

I группа

II группа

III группа