Схема Бернулли. Формула Бернулли.

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Пусть производится n независимых однотипных испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью Р. Тогда вероятность непоявления события А, т.е. Р( ) равна q=1-p.

Вероятность того, что событие А произойдет в этих n независимых испытаниях ровно k раз, можно вычислить по формуле Бернулли

Для определения вероятности появления события A менее m раз (k < m), более m раз (k > m), хотя бы один раз ( ) и т. п. могут быть использованы формулы:

,

,

.

Пример : Прибор состоит из пяти узлов. Надежность (вероят­ность безотказной работы в течение времени t ) для каждого узла равна 0,9. Узлы выходят из строя независимо один от друго­го. Найти вероятность того, что за время t откажут ровно два узла.

Решение: Рассмотрим событие А - выход узла из строя за время t. Число узлов n=5. Число отказавших узлов за время t: k=2.

Р(А) - вероятность выхода узла из строя: p =P(A)=0,1. Тогда q=1-p=1-0,1=0,9.

Теперь вычислим искомую вероятность по формуле Бернулли:

Р₅(2) = (0,1)^{2 .}(0,9)³=10^.0,01^.0,729=0,0729.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1.1. Закон распределения дискретных случайных величин

1.2. Случайная величина (СВ) – это величина, которая в результате опыта может принимать те или иные значения, причем до опыта мы не можем сказать, какое именно значение она примет.

(Более точно, СВ - это действительная функция, определенная на пространстве элементарных событий Ω).

Случайные величины обозначаются буквами латин­ского алфавита X, Y, Z.

Случайные величины могут быть трех типов:

· дискретные,

· непрерывные,

· смешанные (дискретно-непрерывные).

Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конеч­ное или бесконечное счетное число значений.

Например, подбрасыва­ем монету 5 раз. Случайная величина X- число появлений герба: 0,1,2,3,4,5.

Непрерывная случайная величина (НСВ) в отличие от ДСВ при­нимает бесконечное несчетное число значений.

Например, мишень имеет форму круга радиуса R. По этой мишени произвели выстрел с обязательным попаданием. Обозначим через Y расстояние от центра до точки попадания в мишень, Y є [0; R].

Y – непрерывная случайная величина, так как она принимает бесконечное несчетное число значе­ний.

Пусть X - дискретная случайная величина, которая принимает значения: x₁, x₂, ..., х_n... с некоторой вероятностью p_i ,где i = 1,2,..., n,... Тогда можно говорить о вероятности того, что случайная величи­на X приняла значение х_i: p_i = P(X = x_i).

Значения х_i, и соответствующие р_i, представляют в виде таблицы:

Эта таблица является одной из форм задания ДСВ. Обычно случайные величины располагаются в возрастающем порядке. Основное свойство таблицы заключено в том, что сумма вероятностей равна 1:

Пример 1.1. Монета бросается 5 раз. Представим закон рас­пределения ДСВ Х- числа появлений герба, в виде таблицы.

ДСВ X может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Вероятность по­явления герба в одном опыте р=1/2, непоявления q=1/2, n = 5.

Таким образом, выполняются условия применения формулы Бернулли.

Имеем: Полученные данные можно представить в виде таблицы распределения:

Дискретная случайная величина может быть представлена в виде многоугольника распределения - фигуры, состоящей из точек (x_i, p_i), соединенных отрезками (рис. 8).
Над случайными величинами устанавливаются операции сло­жения и умножения.

1. Суммой двух случайных величин X и Y называется случайная ве­личина, которая получается в результате сложения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, со­ответствующие вероятности перемножаются.

2. Произведением двух случайных величин Х и Y называется случай­ная величина, которая получается в результате перемножения всех значений случайной величины X и всех значений случайной вели­чины Y, соответствующие вероятности перемножаются.

Пример 1.2

Найти: 1) Х + С, где С = 2; 2) X + У.

Решение.

1. Z = X+C, C=2.

2. Z = X + Y.

Одинаковые значения СВ можно записать один раз, предварительно сложив соответствующие вероятности:

Контрольные вопросы:

1. Что такое случайное событие?.
2. Дайте классическое определение вероятности.
3. В чём состоит схема Бернули? Запишите формулу Бернули.
4. Что называется случайной величиной (СВ)?
5. Виды СВ?
6. В чём состоит закон распределения дискретных случайных величин?