«Властивості відображення,що співставляє кожному метричному компакту сімейство його непустих компактних підмножин»

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ “КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ ІМ. І. СІКОРСЬКОГО”

Фізико-математичний факультет

Кафедра диференціальних рівнянь

Курсова робота

з дисципліни «Диференціальні рівняння»

«Властивості відображення,що співставляє кожному метричному компакту сімейство його непустих компактних підмножин»

Виконав: студент гр. ОМ-61

Мартинов Д.О.

Затвердив: Пелюх Г. П.

Київ 2018

Зміст

Вступ ................................................................................................................................................ 1

1.Основні визначення і попередні результати. ............................................................................... 1

2.Основні результати ...................................................................................................................... 2

3.Приклади ...................................................................................................................................... 3

4.Додаткові властивості відображення Н ......................................................................................... 5

Список літератури............................................................................................................................ 5

Вступ

В даній праці досліджуються властивості відображення H, що співставляє кожному метричному компакту сімейство його непустих компактних підмножин. Показано, що це відображення є неперервним и 1-ліпщецевим. Існує гіпотеза, що не буває бієкція ізометрій простору Громова-Хаусдорфа на собі, окрім тотожного відображення Н, можливо, є ізометричним вкладенням простору Громова-Хаусдорфа в себе. В праці приведено декілька класів прикладів просторів, відстань між якими зберігається при даному відображенні. В доповненні наводяться властивості, які можливо спрощуют доведення ізометричності Н.

1.Основні визначення і попередні результати.

Нехай А- довільна множина. Через #А будемо позначати потужність множини А. Нехай Z - довільний метричний простір. Відстань між його точками x i y будемо позначати через |xy|. Через diam Z позначимо діаметр Z. Якщо X,Y C Z – непорожні підмножини, то покладемо |XY|=inf{|xy|:x X, y Y}, а |XY|’=sup{|xy|:x X, y Y}. Якщо X={x}, то замість |{x}Y|=|Y{x}| i |{x}Y|=|Y{x}|’ будемо писати |xY|=|Yx| i |xY|’=|Yx|’ відповідно.

Для непорожніх X,Y C Z положимо =max{ |xY|, |yX|}. Отримана величина називається відстанню Хаусдорфа між X i Y. Сім’єю усіх непорожніх замкнутих обмежених підмножин метричного простору Z позначимо через H(Z). Відомо[1],що H(Z) з відстанню Хаусдорфа є метричним простором.

Нехай X i Y – метричні простори. Трійка (X’,Y’,Z), яка складається з метричного простору Z і двух його підмножин X’ i Y’, ізометричних відповідно X i Y, називається реалізацією пари (X,Y). Відстанню (X,Y) по Громову-Хаусдорфу між X i Y називається точна нижня грань чисел r, для яких існує реалізація (X’,Y’,Z) пари (X,Y) така, що r. На множині М всіх компактних метричних просторів, які розглядаються с точністю до ізометрії, функція (X,Y) є метрикою[1].

Метричний простір називається симплексом, якщо всі його ненульові відстані однакові. Зауважимо, що симплекс компактний, тоді і тільки тоді, якщо він скінчений. Симплекс, який складається з n точок , відстань між якими дорівнює t , позначимо через t . Якщо t=1, то простір t будемо для стислості позначати .

Озачення 1.1.(|2|). Для натуральних p , q і речових t , s > 0, має місце:

2 (t , s )=

Озачення 1.2.(|2|). Нехай М-кінцевий метричний простір, n =# M . Тоді для кожного m N , m > n , t > 0, маємо:

2 (t , M)=max{t,diam M – t}.

Для довільного метричного простору М положимо :

(М)=inf{|xy|:x,y M, x y}.

Озачення 1.3.(|2|). Нехай М- кінцевий метричний простір і n =# M , тоді

2 (t , M)=max{t- (М),diam M – t}.

Нехай М – довільна множина, тоді через (M) позначимо сім’ю всеможливих розбиттів М на k його непорожніх підмножин. Нехай тепер М – метричний простір і D={ , ,…, (M). Положимо diam D = max(diam , …, diam , (D)= | , |, а (D)= | , |’.

Озачення 1.4.(|2|). Нехай М- компактний метричний підпростір і m N , m<#M. Тоді для будь-якого t >0, виконується

2 (t , M)=inf{max{diam D, t - (D), (D) – t): D (M)}.

2.Основні результати

Відомо[1], що якщо Х-компактний метричний простір, то H(X)- також компакт. Розглянемо відображення H:M M,що співставляє кожному метричному компакту X сім‘ю всіх його непорожніх компактних підмножин. Доведемо, що відображення Н є 1-липщецевим.(и,слідовно,неперервним).

Нехай M-неізометричні метричні компакти, і ізометрично вкладені в метричний простір Z. В силу компактності Y, для будь-якого x X існує y’ Y таке, що |xY|=|xy’|. Введемо позначення y’= (x), тим самим визначив відображення : X Y. Нехай А С X – довільна замкнута підмножина, тоді H(Y), де означає замкнення підмножини В метричного простору. Доведемо декілька теорем, що описують властивості компакта .

Озачення 2.1. Для будь-якого A H ( X ) i a A маємо | a |=| a |

Д-ня.В силу визначення , для будь-якого y Y справедливо, що |ay| |a (a)|, тому |a |= |ay|=|a |, так як .

Озачення 2.2. Для будь-якого A H ( X ) , виконується = | a ( a )|.

Д-ня. Нехай . Роздивимося два випадки.

1.Якщо , то існує таке, що y= . Але так як |yA|= |ya|, то |yA| |a (a)|.

2.Якщо ,то існує послідовність точок из А така,що ( ) y при n . Так як в метричному компакті будь-яка послідовність точко має східну послідовність, то, без обмеження спільності, можно вважати ,що a A. Припустимо,що |a (a)| < |ay|, тоді :=|ay|-|a (a)|>0. Існує номер k>0 такий, що |a | < i |y ( |< . Із нерівності трикутника для ay отримуєм:

| (a)| |a (a)|+|a |<|a (a)|+ =|ay|- + =|ay| - <|ay|-| a |-|y ( )| | ( )|, протиріччя з визначенням ( . Отже |ay|=|a (a)| i, слідовно, |yA| | a (a)|.

Отже, для будь-якого існує |yA| | a (a)|, звідки |yA| |a (a)|. Отже, в силу теореми 2.1, =max{ |yA|, |a (a)|}= |a (a)|, що і потрібно було довести. .

Наслідок 2.1. Для будь-якого A H ( X ) має місце | x ( X )|.

Озачення 2.3. Для будь-яких A H ( X ) і В H ( Y ) маємо .

Д-ня. Зауважимо, що для будь-якого а А має місце |aB|= |ay| |ay| |a (a)|. Отже, |aB| |a (a)|= , тому , що і потрібно було довести.

Наслідок 2.2. Для будь-якого A H ( X ) має місце: | AH ( Y )|=

Теорема 2.1. Нехай X i Y – метричні компакти, занурені в метричний простір Z , тоді .

Д-ня. Зауважимо, що із наслідку 2.1 випливає обмеженість усіх відстаней величиною |x (X)|, а , значить, |x (X)|= |xY|. Беручи до уваги наслідок 2.2, маємо що |xY|. З іншою сторони, для будь якого x X виконується |x (x)|= = . Отже, |xY|= |x (X)| = | . Таким чином, | = |xY|. Побудувавши аналогічне відображення :Y X, отримаємо, що | = |yX|. Але тоді = | | }= |xY|, |yX|}= , що и треба було довести.

Теорема 2.2. Для будь-яких метричних компактів X i Y виконується : ( H ( X ), H ( Y )) ( X , Y ).

Д-ня. Із теореми 2.1 випливає, що якщо для X,Y існує реалізація (X,Y,Z) така, що g, то для H(X), H(Y) існує реалізація (H(X), H(Y), H(Z)) така, що g. Тоді, в силу визначення відстані по Громову-Хаусдорфу, (H(X), H(Y)) (X,Y).

Наслідок 2.3. Відображення Н неперервне.

Наслідок 2.4. Відображення Н є 1-ліпщецевим.

Д-ня. Із теореми 2.2 випливає, що відображення Н є ліпшецевим с константою С, де С 1. Покажемо, що С=1.Відомо, що відстань від одноточкового простору до будь-якого метричного простору дорівнює половині діаметра. Очевидно, що H({x})={x} і d(H(Y))=d(Y), де d(X)- діаметр простору Х. Отже, |{x}Y|=|H({x})H(Y)|. Тому С 1, отже С=1.

3.Приклади

В цьому розділі будуть побудовані декілька класів прикладів, в яких зберігається відстань Громова-Хаусдорфа між X i Y, при відображенні Н.

Означення 3.1. Відображення Н зберігає відстань між симплексами.

Д-ня. Відмітимо, що H(t =t . Отже, згідно з формулою, що вказана в означенні 1.1, Н зберігає відстань Громова-Хаусдорфа між довільними кінцевими симплексами.

Означення 3.2. Нехай М-кінцевий простір m =# M , n m i t > 0, тоді ( t , M ) ( H ( t , H ( M )).

Д-ня. Відмітимо, що (М)=inf{|xy|:x,y M, x y}= (H(М)) i diam X = diam H(X). Із означення 1.2 і означення 1.3 випливає те, що нам потрібно.

Покажемо наступну оцінку відстані Хаусдорфа.

Означення 3.3. Нехай X ={ , ,… } i Y ={ , ,… } – кінцеві метричні підпростори Z , тоді для будь-якої перестановки |

Для побудови ще одного класа прикладів потрібно довести наступний факт (ідея доведення взята з [3]).

Означення 3.4. Якщо X - зв ’ язний метричний компакт, то H ( X ) теж зв ‘ язне.

Д-ня. Відмітимо, що якщо X зв’язний, то зв’язна і будь-яка його степінь ( ), де (x,x’)= d( , ). Роздивимося вкладення : H(X), певне наступним чинном: . Очевидно, що ) є сім’єю усіх кінцевих підмножин X з не більш, чим n елементами. В силу означення 3.3 , є 1-ліпшицевим, а отже, неперервним. Отже ) буде зв’язним, тому що = , при всіх k n. Але кінцеві множини скрізь щільні в H(X),отже, H(X)= також зв’язане, як замикання зв’язаного простору.

Доведемо наступну властивість зв’язаних просторів

Означення 3.5. Якщо X = - з в’язаний метричний простір, то для будь-якого натурального i n існує j таке, що | =0

Д-ня. Покажемо, що якщо для деякого натурального I при будь-яких j виконується | >0, то Х не зв’язний.

Доведемо спочатку це твердження для випадку n=2. Припустимо, що X= , де | >0. Покажемо, що | =inf{|x₁,x₂|:x₁ >0, де замкнення. Підмітимо, що для будь-яких x₁ існують послідовності i , для яких x₁ , i , a , j . Але тоді |x₁ | | |, отже, |x₁ |>0, тобто | > 0. Але = а отже і = Виходить, що ми представили Х як об’єднання двох непорожніх замкнутих перетинаючихся підмножин , а отже і Х – не зв’язний.

А зараз нехай n>2. Роздивимося будь-яке 1 . Припустимо, що для будь-якого j , маємо | >0. Але тоді | )|>0, так як у нас скінченне число множин. Використовуючи випадок n=2, отримаємо, що Х знову не зв’язний.

Означення 3.6. Нехай Х – зв’ язний метричний компакт, тоді для будь-якого дійсного числа t такого, що t diam X , ш будь-якого натурального р маємо:

( t , X ) ( H ( t , H ( X )).

Д-ня. Покажемо, що (t ,X)= t = (H(t ,H(X)). Для цього використаємо формулу із означення 1.4: 2 (t , M)=inf{max{diam D, t - (D), (D) – t): D (M)}. Відмітимо, що для будь –якого розбиття D виконується diam D diam X t і = | ’ diam X t. В силу означення 3.5, маємо = | =0, тому t - (D)=t. Отже, max{diam D, t - (D), (D) – t)=t, а отже, (t ,X)= t.

В силу того, що Н зберігає зв’язність (означення 3.4) і діаметр, для Н(Х) вірні ті ж міркування, тому (H(t ,H(X))= t, що і потрібно було довести.

4.Додаткові властивості відображення Н

В цьому розділі наводяться міркування, які можуть допомогти в доведенні ( або в знаходженні контр-прикладу) ізометричності Н.

Означення 4.1. Припустимо, що відображення Н зберігає відстань між точками деякої скрізь щільної підмножини . Тоді Н ізометрична на всій М.

Д-ня. Так як Н є 1-ліпщецевим( наслідок 2.4), то воно, очевидно, зберігає збіжність. Тепер нехай X i Y – деякі метричні компакти, тоді, в силу скрізь щільності K в M, існують послідовності метричних просторів } i { } із К такі, що при i . Тоді H( , а H( , більше того, в силу нерівності трикутника, ( ( , а ( ( при i . Якщо Н зберігає відстань між компактами із К, то для будь-якого натурального і має місце ( ( , отже ( = ( для будь-яких метричних компактів X і Y, що і було потрібно.

Наслідок 4.1. Якщо обмеження Н на множині усіх кінцевих метричних просторів ізометричне, то воно ізометричне на всій М

Кінцевий метричний простір назвемо простором загального положення, якщо всі його відстані попарно різні, а нерівність трикутника завжди строге.

Наслідок 4.2. Якщо Н зберігає відстань між просторами загального положення з однаковим числом точок, то воно ізометричне на всій М.

Список літератури