Повторяем тему « Двоичная арифметика»
Теория.
Выполнение арифметических действий в любых позиционных системах счисления производится по тем же правилам, которые используются в десятичной системе счисления.
Так же, как и в десятичной системе счисления, для выполнения арифметических действий необходимо знать таблицы сложения (вычитания) и умножения (Таблица 1).
Таблица 1. Сложение, вычитание и умножение в двоичной системе счисления
| Сложение | Вычитание | Умножение |
| 0 + 0 = 0 | 0 — 0 = 0 | 0 ∙ 0 = 0 |
| 0 + 1= 1 | 1 — 0 = 1 | 0 ∙ 1 = 0 |
| 1 + 0 = 1 | 1 — 1 = 0 | 1 ∙ 0 = 0 |
| 1 + 1 = 10 | 10 — 1 = 1 | 1 ∙ 1 = 1 |
Сложение в двоичной системе счисления выполняется по тем же правилам, что и в десятичной. Два числа записываются в столбик. Сложение начинается с крайнего правого разряда. Две единицы младшего разряда объединяются в единицу старшего.
Пример: 10112 + 10102
| + | 1 | 0 | 1 | 12 |
| 1 | 0 | 1 | 02 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 12 |
Интересна также ситуация, когда складываются больше двух чисел. В этом случае возможен перенос через несколько разрядов.
Пример : 1112 + 1112 + 1012
| 1 | 1 | 12 | |||
| + | 1 | 1 | 12 | ||
| 1 | 0 | 12 | |||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 12 | |
| Разряды: | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
При сложении в разряде единиц (разряд 0) оказывается 4 единицы, которые, объединившись, дают 1002. Поэтому из нулевого разряда в первый разряд переносится 0, а во второй — 1.Аналогичная ситуация возникает во втором разряде, где с учетом двух перенесенных единиц получается число 5=1012. 1 остается во втором разряде, 0 переносится в третий и 1 переносится в четвёртый.
При вычитании, в случаях, когда занимается единица старшего разряда, она дает две единицы младшего разряда. Если занимается единица через несколько разрядов, то она дает по одной единице во всех промежуточных нулевых разрядах и две единицы в том разряде, для которого занималась.
Пример : 101102 — 10012
| ® | ® | ||||
| _ | 1 | 0 | 1 | 1 | 02 |
| 1 | 0 | 0 | 12 | ||
| 1 | 1 | 0 | 12 |
Пример:
| х | 1 | 1 | 0 | 12 | |
| 1 | 0 | 12 | |||
| + | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 12 |
|
| |||||
| 13×5=65 | |||||
| _ | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 02 | 1 | 1 | 12 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 02 | ||||||
| _ | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | |||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||||||
| 0 | 0 | |||||||||||
| 70:7=10 | ||||||||||||
Зная операции двоичной арифметики, можно переводить числа из двоичной системы счисления в любую другую.
Пример: Перевести число 1011110112 в десятичную систему счисления.
Поскольку 1010 = 10102, запишем
| _ | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 12 | 1 | 0 | 1 | 02 | |||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 12 | 1 | 0 | 1 | 02 | |||||||
| _ | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||||||||||
| _ | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | |||||||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||
| _ | 1 | 0 | 0 | 1 | ||||||||||||||||
Полученные остатки, 10012 = 910, =1112 = 710, 112 = 310. Искомое число 1011110112 = 37910.
Практика. Решение задач.
1.Вычислить: 1000000012-101110102=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного вычитания:
| _ | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 12 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 02 | ||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 12 |
Ответ: 10001112
2.Вычислить: 110110012-1011012=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного вычитания:
| _ | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 12 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 12 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 02 |
Ответ: 101011002
3.Вычислить: 1000000012-10101112=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного вычитания:
| _ | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 12 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 12 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 02 |
Ответ: 101010102
4.Вычислить: 10110102-1011112=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного вычитания:
| _ | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 12 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 12 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 02 |
Ответ: 101010102
5.Вычислить: 101111002-1011112=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного вычитания:
| _ | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 02 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 12 | |||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 12 |
Ответ: 100011012
6.Вычислить: 10102*1012=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного умножения:
| х | 1 | 0 | 1 | 02 | ||
| 1 | 0 | 12 | ||||
| + | 1 | 0 | 1 | 0 | ||
| 1 | 0 | 1 | 0 | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 02 |
Ответ: 1100102
7.Вычислить: 1101102*1112=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного умножения:
| х | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 02 | ||
| 1 | 1 | 12 | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | |||
| + | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 02 |
Ответ: 1011110102
8.Вычислить: 1001102*112=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного умножения:
| х | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 02 | |
| 1 | 12 | ||||||
| + | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 02 |
Ответ: 11100102
9.Вычислить: 101102*1002=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного умножения:
| х | 1 | 0 | 1 | 1 | 02 | |
| 1 | 0 | 02 | ||||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 02 |
Ответ: 10110002
10.Вычислить: 10101112*1112=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного умножения:
| х | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 12 | ||
| 1 | 1 | 12 | |||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | |||
| + | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 12 |
Ответ: 10011000012
11.Вычислить: 10011000012/1112=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного деления:
| _ | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 12 | 1 | 1 | 12 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 12 | |||||||||
| _ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||||||||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||
| _ | 1 | 1 | 0 | 0 | ||||||||||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||
| _ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||||||||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||
| _ | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||
| 0 | ||||||||||||||||||
Ответ: 10101112
12.Вычислить: 11100102/112=
| _ | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 02 | 1 | 12 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 02 | |||||||
| _ | 1 | 0 | 0 | |||||||||||
| 1 | 1 | |||||||||||||
| _ | 1 | 1 | ||||||||||||
| 1 | 1 | |||||||||||||
| 0 | ||||||||||||||
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного деления:
Ответ: 1001102
13.Вычислить: 1011110102/1112=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного деления:
| _ | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 02 | 1 | 1 | 12 | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 02 | ||||||||
| _ | 1 | 0 | 0 | 1 | ||||||||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||
| _ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||||||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||
| _ | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||
| 0 | ||||||||||||||||
Ответ: 1101102
14.Вычислить: 1100102/1012=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного деления:
| _ | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 02 | 1 | 0 | 12 | ||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 02 | |||||
| _ | 1 | 0 | 1 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 0 | |||||||||||
Ответ: 10102
15.Вычислить: 10110002/1002=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного деления:
| _ | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 02 | 1 | 0 | 02 | ||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 02 | |||||||
| _ | 1 | 1 | 0 | |||||||||||
| 1 | 0 | 0 | ||||||||||||
| _ | 1 | 0 | 0 | |||||||||||
| 1 | 0 | 0 | ||||||||||||
| 0 | ||||||||||||||
Ответ: 101102
16.Вычислить: 1010112+1011012=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного сложения:
| + | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 12 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 12 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 02 |
Ответ: 10110002
17.Вычислить: 101010102+11112=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного сложения:
| + | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 02 |
| 1 | 1 | 1 | 12 | |||||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 12 |
Ответ: 101110012
18.Вычислить: 101010102+10101112=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного сложения:
| + | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 02 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 12 | ||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 12 |
Ответ: 1000000012
19.Вычислить: 1111012+1000112=
Решение
| + | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 12 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 12 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 02 |
Выполним вычисление по правилам двоичного сложения:
Ответ: 11000002
20.Вычислить: 100011012+1011112=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного сложения:
| + | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 12 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 12 | |||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 02 |
Ответ: 101111002
21.Вычислить: 111011102+10101102=
Решение
Выполним вычисление по правилам двоичного сложения:
| + | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 02 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 02 | ||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 02 |
Ответ: 1010001002