Множество C 0 пусто

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Сногочленов f(x'), f(x') тождественно равен отличной от нуля постоянной а'₀, соответственно b ′₀.

2° Множество С⁰ совпадает со всей прямой у' = 0. Это происходит тогда и только тогда, когда каждый из многочленов f(x'), f(x') тождественно равен нулю.

Множество C ⁰ совпадает с прямой y ′ o ′

3° Ни одни из случаев 1⁰, 2⁰ не имеет места. Тогда множество С⁰ состоит или из одной точки, или из пары (быть может, совпадающих между собою) точек, являющихся парой корней как уравнения

a ′₁₁ x ′ ²+2 a ′₁ x ′+ a ′₀= 0 (10)

так и уравнения

b ′₁₁ x ′ ²+2 b ′₁ x ′+ b ′₀= 0 (11)

Множество C ⁰ состоит из одной точки А

Рассмотрим ближе этот случай. Так как уравнения (10) и (11) имеют одни и те же корни, то при некотором μ ≠ 0 имеем

b′₁₁x′ ²+2b′₁x′+b′₀ = μ (a′₁₁x′ ²+2a′₁x′+a′₀)

и, значит, полагая λ= b ′₂₂: a ′₂₂, имеем

F′(x′, y ′) = а′₂₂у′ ² + (а′₁₁х′ ² + 2а′₁ x ′ + а′₀),

F′(x′, y′) = λb′₂₂y′ ² + μ(b′₁₁x′ ² + 2b′₁y′ + b′₀)

Докажем, что λ = μ. Для этого дадим переменному х' значение x ′= x ′₁, являющаяся корнем уравнения

а′₁₁х′ ² + 2а′₁ x ′ + а′₀=1

и найдем значение y ′, удовлетворяющее уравнению

F′(x′₁, y ′) = а′₂₂у′ ² + 1 = 0

т. е. y ′₁= ± ( - 1 : a ′₂₂ )^0,5.

Значит, точка (x ′₁, y ′₁ ) принадлежит множеству С; следовательно,

F ′(x′₁, y ′₁) = λ а′₂₂у′ ² + μ · 1= λ а′₂₂( - 1 : a ′₂₂)+ μ = 0

т. е. λ=μ, и F′(x′, y ′)=λF′(x′, y ′), значит, и

F (x, y )=λF(x, y ).

Итак, в случае 3° теорема доказана. В случае 2° имеем

F′(x′, y ′)= а′₂₂у′ ², а′₂₂≠0, F′(x′, y ′)= b ′₂₂у′ ², b ′₂₂≠0.

Полагая λ = b ′₂₂: a ′₂₂, получим F′(x′, y ′)= F′(x′, y ′) —утверждение теоремы верно и в этом случае.

Наконец, в случае 1° уравнения (8) и (9) принимают вид

F′(x′, y ′) = а′₂₂у′ ² + a ′₀=0, a ′₀≠0,

F ′(x′, y ′) = b ′₂₂у′ ² + b ′₀=0 b ′₀≠0

— множество С есть пара прямых, определенная каждым из уравнений

y ′=±(-( a ′₀ : a ′₂₂)^0,5) или y ′=±(-( b ′₀ : b ′₂₂)^0,5).

Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было

(a′₀ : a′₂₂)=( b′₀ : b′₂₂), т.е. b′₂₂=λa′₂₂, b′₀=λa′₀ при λ =( b′₂₂: a′₂₂).

Теорема доказана во всех случаях.