Работа №1: Табулирование функции. интерполирование функции с помощью многочленов Лагранжа
Задания предлагаемого лабораторного практикума предназначены для практического освоения материала, изучаемого в курсе «Численные методы и программирование» для студентов химического факультета. Описание заданий включает 42 задач из различных разделов физической химии, которые необходимо решить с помощью компьютера. Сочетание задач с различными предлагаемыми методами их решения позволяет преподавателю составлять 9 -15 вариантов заданий в каждой работе. Выполнение заданий предполагает знакомство с алгоритмическим языком программирования, например с Паскалем, практикой решения задач на персональных компьютерах, умение тестировать программы и выдавать результаты по заданной форме.
Отчет о работе может иметь следующее содержание:
1. Постановка задачи.
2. Алгоритм решения задачи в виде блок-схемы.
3. Программа, написанная на языке программирования с необходимыми комментариями.
4. Тесты для отладки программы, результаты отладки.
5. Результат решения задачи с данными, полученными от преподавателя.
Замечания:
1. Каждая программа должна обеспечивать необходимую точность при различных значениях переменных.
2. Отлаживая программу надо не только проверять, правильно ли реализован алгоритм, но и оценивать погрешности, полученные при выполнениями программы с экстремальными значениями данных.
3. Программист должен хорошо представлять, в каких границах могут изменяться переменные и учитывать это при выборе алгоритма.
Рекомендуемая литература
1. Каретников Г. С.
Работа №1: Табулирование функции. интерполирование функции с помощью многочленов Лагранжа
1. На отрезке [ a, b] получить таблицу значений функции y= f( x) в равноотстоящих точках xi= a+ i* h; i = 0,1,2, …,10; h=( b- a)/10. Варианты функции y= f( x) и отрезка [ a, b] см. в таблице 1.
2. С помощью интерполяционной формулы Лагранжа выполнить линейную интерполяцию в точке с. Сравнить результаты со значением, получаемым при непосредственном вычислении по формуле y= f(с). Варианты точки с см. в таблице 1.
3. С помощью интерполяционной формулы Лагранжа выполнить квадратичную интерполяцию в точке с, используя три ближайшие точки х i-1, х i, х i+1,
(х i-1 < с < xi+1). Сравнить результаты со значением, получаемым при непосредственном вычислении по формуле y= f(с).
Этапы выполнения лабораторной работы.
§ Построить таблицу из 11 значений выбранной функции.
§ По интерполяционной формуле Лагранжа первого порядка вычислить
L 1 (с)= f ( xi )*(с- xi +1 )/( xi - xi +1 )+ f ( xi +1 )*(с- xi )/( xi +1 - xi ).
§ Ответить на вопрос п.2.
§ По интерполяционной формуле Лагранжа второго порядка вычислить
L 2 (с)= f ( xi -1 )*(с- xi )*(с- xi +1 )/( xi -1 - xi )/( xi -1 - xi +1 )+
f ( xi ) * (с- xi -1 )*(с- xi +1 )/( xi - xi -1 )/( xi - xi +1 )+
f ( xi +1 )*(с- xi -1 )*(с- xi )/( xi +1 - xi -1 )/( xi +1 - xi ).
§ Ответить на вопрос п.3.
Таблица 1.
| № | Вид функции y=f(x) | Отрезок [a,b] | с |
| 1 | y=x2 + ln(x) | [0.4,0.9] | 0.52 |
| 2 | y=x2 - lg(x+2) | [0.5,1.0] | 0.53 |
| 3 | y=x2 + ln(x) - 4 | [1.5,2.0] | 1.52 |
| 4 | y=(x-1)2 –0.5ex | [0.1,0.6] | 0.13 |
| 5 | y=(x-1)2 –e -x | [1.0,1.5] | 1.07 |
| 6 | y=x3 - sin(x) | [0.6,1.1] | 0.92 |
| 7 | y=4x - cos(x) | [0.1,0.6] | 0.37 |
| 8 | y=x2 - sin(x) | [0.5,1.0] | 0.77 |
| 9 | y=x - cos(x) | [0.5,1.0] | 0.92 |
| 10 | y=x2 - cos(πx) | [0.1,0.6] | 0.37 |
| 11 | y=x2 - sin(πx) | [0.4,0.9] | 0.53 |
| 12 | y=x2- cos(0.5πx) | [0.4,0.9] | 0.64 |
| 13 | y=x-2cos(0.5πx) | [0.4,0.9] | 0.71 |
| 14 | y=x - sin(πx) | [0.6,1.1] | 0.88 |
| 15 | y=2x - cos(x) | [0.1,0.6] | 0.44 |
| 16 | y=x2 + ln(x+5) | [0.5,1.0] | 0.73 |
| 17 | y=0.5x2+cos(2x) | [0.6,1.1] | 0.84 |
| 18 | y=x2 –0.5e -x | [0.1,0.6] | 0.37 |
| 19 | y=x2 + lg(x) | [0.4,0.9] | 0.53 |
| 20 | y=x - lg(x+2) | [0.5,1.0] | 0.77 |
| 21 | y=x2 - lg(0.5x) | [0.5,1.0] | 0.92 |
| 22 | y=x3 - cos(2x) | [0.1,0.6] | 0.37 |
| 23 | y=x2 + cos(πx/2) | [0.1,0.6] | 0.13 |
| 24 | y=x/2 - cos(x/2) | [0.4,0.9] | 0.64 |