№3. Классическое определение вероятности.
3.1. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 1 до 3.
3.2. Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры.
3.3. В урне 10 синих и 5 черных шаров. Наудачу отобраны 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 4 синих шара.
3.4. Секретный замок содержит 15 дисков. Каждый диск имеет десять цифр, ль 0 до 9. Какова вероятность открыть замок, случайно набрав комбинацию из 15 цифр?
3.5. В партии из 15 изделий 7 изделий с браком. Какова вероятность того, что из взятых наугад 5 изделий 3 изделия являются бракованными?
3.6. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?
3.7. В папке с документами лежат 20 страниц с номерами от 1 до 20, перемешанных случайным образом. Секретарша наугад извлекает две страницы. Найти вероятность того, что извлечены страницы с номерами 10 и 12.
3.8. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 27 кубиков одного размера, которые затем тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что 2 наудачу извлеченных кубика будут иметь точно три окрашенные грани.
3.9. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.
3.10. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей все стандартные.
3.11. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма числа очков делится на 2.
3.12. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наугад отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.
3.13. В урне 10 синих и 8 красных шаров. Наудачу отобраны 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 4 синих шара.
3.14. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?
3.15. В урне 11синих и 7 черных шаров. Наудачу отобраны7 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 6синих шара.
3.16. В урне 6жёлтых и 9 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 4жёлтых шара.
3.17. Среди 100 лотерейных билетов 2 выигрышных. Вы покупаете 3 билета. Какова вероятность, что вы ничего не выиграете?
3.18. В партии из 18 изделий 6 изделий с браком. Какова вероятность того, что из взятых наугад 5 изделий 3 изделия являются бракованными?
3.19. В партии из 12 изделий 5 изделий с браком. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия без брака?
3.20. В партии из 16изделий 5 изделий с браком. Какова вероятность того, что из взятых наугад 6 изделий половина изделий окажется с браком?
3.21. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.
3.22. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.
3.23. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что разность числа очков будет равна 0 (на гранях выпадут одинаковые очки).
3.24. В лотерее 24 билета, из них 10 выигрышных и 14 пустых. Найти вероятность того, что из трех вынутых билетов, по крайней мере, один окажется выигрышным.
3.25. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию разбиваются на две группы по 10 человек. Найти вероятность того, что двое наиболее сильных игроков попадут в разные группы?
№4. Сложение и умножение вероятностей.
4.1. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета? Как изменится вероятность, если шары возвращаются в ящик?
4.2. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,7; для второго и третьего стрелков эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что:1) только один из стрелков поразит цель; 2) только два стрелка поразят цель; 3) все три стрелка поразят цель.
4.3. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Вынимаются последовательно 2 шара. Какова вероятность того, что оба вынутые шара белые? Как изменится вероятность, если шары возвращаются в ящик?
4.4. На участке две бригады. Вероятность выполнения плана первой бригадой равна 0,8; а вероятность выполнения плана второй 0,9. Требуется найти: 1) вероятность выполнения плана участком; 2) вероятность выполнения плана только одной бригадой участка; 3) вероятность выполнения плана хотя бы одной бригадой участка.
4.5.. На семи карточках написаны буквы С Т У Д Е Н Т
После тщательного перешивания берут карточки по одной и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что при этом получится слово НЕУД?
4.6. Передающее устройство, канал связи и принимающее устройство могут быть повреждены. Вероятности повреждения соответственно равны 0,5; 0,4; 0,6. Найти вероятность того, что: 1) будет повреждено хотя бы одно; 2) хотя бы одно не будет повреждено; 3) система будет работать.
4.7. На шести одинаковых карточках написаны буквы А А Б Б Б О
Тщательно перемешав карточки, вынимают их одну за одной и кладут рядом в порядке поступления. Какова вероятность того, что составится слово БАОБАБ?
4.8. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащиеся в экзаменационном билете. Рассмотреть два случая: а) программа разбивается на 2 раздела по 25 вопросов в каждом, причем два вопроса билета относятся к разным разделам; б) программа на разделы не разбивается.
4.9. В урне находятся 4 красных и 6 белых шара. Из этих 10 шаров выбираются 3 шара. Известно, что все выбираемые шары одного цвета. Какова вероятность того, что все выбираемые шары красные? Какова вероятность того, что первым выбрали красный шар, вторым – белый, третьим – красный?
4.10. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудия эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что: 1) только один снаряд поразит цель; 2) только два снаряда поразят цель; 3) все три снаряда поразят цель.
4.11. Из букв разрезной азбуки составили слово «комбинаторика». Не умеющий читать ребенок перемешал буквы этого слова и составил из них слово из четырех букв. Какова вероятность того, что этим словом оказалось слово «кино»?
4.12. Два студента независимо друг от друга производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый студент допустит ошибку, равна 0,1; вероятность того, что 2-й студент допустит ошибку, равна 0,2. Найти вероятность того, что а) допустил ошибку только первый; б) допустил ошибку только один; в) допустил ошибку хотя бы один.
4.13. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащиеся в экзаменационном билете. Рассмотреть два случая: а) программа разбивается на 2 раздела по 25 вопросов в каждом, причем два вопроса билета относятся к разным разделам; б) программа на разделы не разбивается.
4.14. В группе 20 человек – 12 студентов и 8 студенток, 5 студентов женаты, а 4 студентки замужем. Вы разговариваете с одной из студенток. Какова вероятность, что она замужем? Найти вероятность того, что наугад выбранный человек группы: а) имеет семью или мужского пола; б) имеет семью и мужского пола.
4.15. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что выбрали сначала 2 апельсина, а потом яблоко? Как изменится вероятность, если фрукты каждый раз после выбора возвращаются в ящик?
4.16. Колхозом послана машина за материалами на 4 базы. Вероятность наличия нужного материала на 1-ой базе равна 0,9; на 2-ой – 0,95; на 3-й-0,8; на 4-ой-0,6. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.
4.17. Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени каждым из стрелков равна 0,9. Найти вероятность того, что: 1) оба стрелка поразят мишень; 2) оба стрелка промахнутся; 3) только один стрелок поразит мишень; 4) хотя бы один из стрелков поразит мишень.
4.18. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одного размера, которые затем тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что из трех наудачу извлеченных кубика первый будет иметь одну, второй две, а третий три окрашенные грани.
4.19. На ферме две бригады. Вероятность выполнения плана первой бригадой 0,7; второй 0,8. Найти вероятность: 1) выполнения плана фермой; 2) выполнение плана только одной бригадой; 3) выполнения плана хотя бы одной бригадой?
4.20. Игральная кость брошена 5 раз. Какова вероятность того, что при этом все выпавшие грани различны?
4.21. От аэровокзала отправились 2 автобуса – экспресса к трапам самолетов. Вероятность своевременного прибытия каждого автобуса в аэропорт равна 0,95. Найти вероятность того, что: 1) оба автобуса придут вовремя; 2) оба автобуса опоздают; 3) только один автобус прибудет вовремя; 4) хотя бы один автобус прибудет вовремя.
4.22. Колода из 36 игральных карт тщательно перетасована. Наугад берут по одной четыре карты (с возвращением). Найти вероятность того, что это будут туз, король, дама и валет в указанном порядке. Как изменится вероятность, если карты в колоду не возвращать?
4.23. В одинаковых и независимых условиях производятся 3 выстрела, при каждом из которых с вероятностью p=0.8 поражается цель. Какова вероятность того, что цель поражается впервые при третьем выстреле?
4.24. На складе 20 деталей. Из них имеют отличное качество 10, хорошее 6, удовлетворительное 4. Производится случайная выборка из 3-х деталей. Какова вероятность того, что: а) все 3 детали будут отличного качества; б) две удовлетворительного и одна хорошего качества; в) все 3 различного качества?
4.25. Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время: 1) совместной работы комбайнов; 2) работы только одного комбайна; 3) простоя обоих комбайнов.