Тема 2.2. Алгебра матриц. Обратные матрицы.

Дата: 2025-04-30; Просмотры: 25
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0

Вопросы для обсуждения:

Условие обратимости матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

 

Тематика рефератов. Экономические примеры использования матриц :

1. Статическая модель межотраслевого баланса В. Леонтьева в матричной записи.

2. Продуктивность матрицы прямых затрат, критерии продуктивности.

 

Задачи.

1. Найти матрицу, обратную к матрице

А= .

Р е ш е н и е. Определитель ∆ матрицы А равен 2, т.е. ∆ =2. Алгебраические дополнения её элементов : А11=2; А12= -4; А21= -3; А22=7. Следовательно,

 

А-1= = .

2. С помощью элементарных преобразований строк найти матрицу, обратную к матрице

 

А = .

 

Р е ш е н и е. Припишем к матрице А справа единичную матрицу и будем выполнять элементарные преобразования строк объединенной матрицы до тех пор, пока матрица А не превратиться в единичную:

 

 

   

       

                 

.

 

Таким образом,

А-1 = .

 

 

Найти обратную матрицу для следующих матриц:

2. . 3. . 4. . 5. . 6. .

 

 

Тема 3.1. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера.

Вопросы для обсуждения

1. Системы линейных уравнений (СЛУ). Формы записи систем линейных уравнений. Определения совместной, несовместной, определенной и неопределенной системы m линейных уравнений с n неизвестными. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера

Задачи.

1. Решить систему уравнений

 

 

Решение. Вычислим определитель матрицы системы уравнений:

Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти с помощью формул Крамера.

Вычислим определители:

 

 

По формулам Крамера находим:

Решить системы уравнений:

 

 

 

 

Тема 3.2. Системы линейных алгебраических уравнений.

Метод Жордано-Гаусса.

 

Вопросы для обсуждения:

Определение арифметического n-мерного векторного пространства. Метод Жордано-Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли и следствие из нее. Вычисление ранга матрицы. Теорема о решении однородной СЛУ и следствие из нее. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Задач и

1. Вычислить методом окаймления миноров ранг матрицы:

Р е ш е н и е. Так как матрица содержит ненулевые элементы, то ее ранг не меньше 1. Минор второго порядка d = отличен от нуля и, значит, ранг матрицы не меньше 2. Вычислим окаймляющие d миноры третьего порядка:

 

      

 

 
               

Итак, все миноры, окаймляющие минор d, равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен 2.

2. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы:

.

Р е ш е н и е. Превратим данную матрицу в трапецеидальную с помощью элементарных преобразований:


 

 

 

Таким образом, ранг матрицы равен 3.

 

Найти ранг матрицы:

 

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

 

9. Исследовать совместимость, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений

Решение 1. Выпишем расширенную матрицу, найдем ее ранг и одновременно ранг матрицы системы уравнений:

 

 

 

 

Итак, ранги матрицы и расширенной матрицы совпадают и равны 2. Следовательно, система совместна.

2. Выберем минор М = , составленный из коэффициентов при неизвестных и первого и третьего уравнений. Этот минор отличен от нуля и его порядок равен рангу матрицы системы.

3. Выипишем первое и третье уравнение данной системы , которые содержат строки минора М:

В этих уравнениях оставим в левой части неизвестные и , коэффициенты при которых являются столбцами минора М, а остальные неизвестные перенесем в правую часть:

4. Решим полученную систему по формуле Крамера:

 

 

Теперь имеем

– общее решение данной системы.

Неизвестные и – свободные неизвестные. Если положить , , из общего решения находим , . Следовательно, , , , – частное решение исходной системы уравнений.