Тема 1. Определитель и его свойства. Линейные векторные пространства.

Дата: 2025-04-30; Просмотры: 23

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Кафедра «Информационные системы и моделирование»

Методические указания

для проведения самостоятельных практических занятий

для студентов

по дисциплине «Линейная алгебра»

Утверждено на заседании УМКН

«___»___________2021 года, протокол № ___

Председатель УМКН ____________/ Лобачева Г.В.

Саратов 2020

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Целями освоения дисциплины «Линейная алгебра» являются формирование умения использовать законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, формирование у студентов понимания роли математики в современном мире, знакомство студентов с основными понятиями и методами линейной алгебры, формирование у студентов системного математического мышления, умения применять математический аппарат для исследования экономических процессов.

Задачи изучения дисциплины:

1. приобретение и развитие навыков математического мышления и в применении к решению задач линейной алгебры и осознание ее роли в развитии других наук;

2. овладение основными понятиями и методами линейной алгебры; навыками использования алгебраического аппарата для решения теоретических и прикладных задач в математике, информатике и экономике для моделирования и теоретического исследования;

3. формирование:

– готовности использовать алгебраический аппарат для решения теоретических и прикладных задач в математике, информатике и экономике;

– выработке умений анализировать полученные результаты;

– мотивации и способностей для самостоятельного повышения уровня своего научного мировоззрения

Важным элементом образовательного процесса является проведение практических занятий, ориентированных на выработку у студентов практических навыков и умений, которые в дальнейшем пригодятся в их профессиональной деятельности. Настоящие методические указания содержат материал, пригодный для использования преподавателями на практических занятиях по дисциплине «Линейная алгебра».

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Тема 1. Определитель и его свойства. Линейные векторные пространства.

Вопросы для обсуждения:

Перестановки и инверсии. Квадратные матрицы и определители. Определитель 3 порядка, вычисление с помощью правил треугольника, Саррюса. Свойства определителей. Минор, дополнительный минор и алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа и следствия. Разложение определителя по строке (столбцу). Приведение определителя к треугольному виду.

Вектор, основные операции над векторами. Определение векторного пространства. Линейная зависимость векторов и базис конечномерного векторного пространства. Связь между различными базисами векторного пространства. Связь между координатами векторов в различных базисах.

Тематика рефератов:

1. Связь между различными базисами векторного пространства.

2. Связь между координатами векторов в различных базисах.

Задач и.

1 .

Выполнить следующие действия:

2* - 3* .

Решение.

2* - 3* = .

2. Вычислить определитель матрицы

Решение. Использую приведенные выше схемы, получаем

.

3. Вычислить определитель, разлагая его по элементам третьего столбца:

Решение.

.

4. Вычислить определитель матрицы путем разложения его по элементам второй строки:

а) ; б) .

5. Вычислить определитель матриц, разлагая их по строке или столбцу:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

Тема 2 . 1. Алгебра матриц. Произведение матриц.

Вопросы для обсуждения

Прямоугольные матрицы. Операции над ними: сумма, разность, произведение, умножение на скаляр. Произведение матриц. Присоединенная и обратная матрицы.

Задачи.

1. Найти элемент с₃₂ матицы АВ=(с _ij ), если

А= ; В= .

Р е ш е н и е. Элемент с₃₂ равен сумме произведений элементов третьей строки матрицы А на соответствующие элементы второго столбца матрицы В, т.е.

С₃₂=(-1) * 2+ (-5)*(-1)+3*(-3)+11*5=49.

2. Вычислить произведение матриц

А= ; В= .

Р е ш е н и е. Так как сомножители имеют размеры 3X4 и 4 X3, то их произведение определен и имеет размеры 3X3. Следовательно,

АВ=

=

= .

Для закрепления темы необходимо решить задачи.

Найти произведение матриц.

3. . 4. .

5. . 6. .

7. (1 -1 3) . 8. .

9. Найти матрицу, обратную к матрице

А= .

Р е ш е н и е. Определитель ∆ матрицы А равен 2, т.е. ∆ =2. Алгебраические дополнения её элементов : А₁₁=2; А₁₂= -4; А₂₁= -3; А₂₂=7. Следовательно,

А^-1= = .

Найти обратную матрицу для следующих матриц:

10. . 11. . 12. . 13. .