Свойства гиперболы

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

1. Фокальное свойство: гипербола – ГМТ (геометрическое место точек), модуль разности расстояний от которых до соответствующих фокусов постоянен и равен , т.е. . Доказательство свойства аналогично доказательству фокального свойства эллипса.

2. Директориальное свойство: такое же, как и эллипса и доказывается также.

3. Оптическое свойство: гипербола – ГМТ (геометрическое место точек), касательная в которых образует равные острые углы с фокальными радиусами, т.е. . Другими словами, лучи света, исходящие из одного фокуса гиперболы, после зеркального отражения от гиперболы кажутся исходящими из другого её фокуса (так как касательная проходит между фокусами). Доказывается так же, как и оптическое свойство эллипса.

п. 13.3 О гиперболических функциях

Тригонометрические функции и определяются таким образом, что , , , т.е. . ( – абсцисса точки на единичной окружности, – её ордината).

Если рассмотреть равнобочную гиперболу , то можно ввести гиперболические функции (гиперболический косинус) и (гиперболический синус) так, что , т.е. .

Введём представление о числе . Рассмотрим все возможные функции и выберем из них ту, у которой касательная, проведённая через точку , составляет угол с осью . Основание такой логарифмической функции и есть число …

Покажем, что .

Функция – чётная, – нечётная функция. Подставим , в уравнении гиперболы. Получим

; ; ; .

Графики гиперболических функций:

- котангенс гиперболический.

- тангенс гиперболический.

п. 13.4 Парабола

Определение 1. Параболой называется линия на плоскости, если найдётся такая ДПСК-2 (декартова прямоугольная система координат), в которой её уравнение примет вид .

Величину называют фокальным параметром параболы, точку – фокусом, ось – фокальной осью, прямую : – директрисой.

Свойства параболы

1. Фокальное свойство: отсутствует.

2. Директориальное свойство: парабола – ГМТ (геометрическое место точек), равноудаленных от фокуса и директрисы, т.е. .

Доказательство:

Рассмотрим , . Тогда , , . ■

3. Оптическое свойство: парабола – ГМТ (геометрическое место точек), в которых касательная образует равные углы с фокальным радиусом и положительным направлением оси .

Другими словами, лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от параболы, образуют пучок, параллельный оси параболы. И наоборот, все лучи, параллельные фокальной оси, отражаясь от параболы, попадают в фокус параболы.

Доказательство:

Рассмотрим параболу или . Покажем, что .

Запишем уравнение касательной к параболе, проходящей через точку : .

Так как , то

. По директориальному свойству . Отсюда . Следовательно, треугольник равнобедренный, т.е. . ■

п.14 Поверхности второго порядка

п. 14.1 Поверхности вращения

Рассмотрим в ДПСК-2 (декартова прямоугольная система координат) линию : . Совместим с этой ДПСК-2 (декартова прямоугольная система координат) систему ДПСК-3 так, что у них совпадают начало координат и оси: ось совпадает с осью , ось совпадает с осью , а ось перпендикулярна плоскости . При вращении линии : вокруг оси любая точка , совпадающая с точкой на плоскости , опишет окружность с радиусом и центром в точке . Таким образом, чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии : вокруг оси , надо сделать замену переменных: .

Соответствующие правила для вращения вокруг других осей сформулировать самостоятельно.

Рассмотрим примеры поверхностей вращения (вокруг оси ):

1. Эллипсоид вращения эллипса: , .

2. Параболоид вращения параболы: , .

3. Однополостной гиперболоид получается при вращении гиперболы вокруг оси : .

4. Двуполостный гиперболоид получится при вращении гиперболы вокруг оси : .

п. 14.2 Поверхности второго порядка

Если у поверхности вращения заменить , т.е. сжать все эти поверхности вдоль оси , то получаются общие поверхности второго порядка. Исследовать их легко с помощью метода сечений (некоторые поверхности второго порядка не являются поверхностями вращения).

1. Эллипсоид: , – полуоси эллипсоида. Из уравнения вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат – центром симметрии эллипсоида. Пересечём поверхность плоскостью , параллельной плоскости . Тогда уравнение линии, полученной в сечении, имеет вид

.

Полагая получим уравнение эллипса с полуосями и .

Аналогичная ситуация возникает при пересечении эллипсоида плоскостями, параллельными плоскостям и . Заметим, что эллипсоид с равными полуосями: называют сферой.

Из уравнения вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат – центром симметрии эллипсоида.

2. Однополостной гиперболоид.

Из уравнения следует, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии однополостного гиперболоида. Пересечение поверхности плоскостью есть эллипс: , где , . Сечения однополосного гиперболоида координатными плоскостями и представляют собой гиперболы, определяемые уравнениями соответственно

и .

3. Двуполостной гиперболоид:

.

Из уравнения видно, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат центром симметрии двух полосного гиперболоида.

Сечение поверхности плоскостью (при ) представляет собой эллипс с полуосями . Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями и представляют собой гиперболы

и соответственно.

4. Эллиптический параболоид: .

Заметим, что координатные плоскости и являются плоскостями симметрии эллиптического параболоида. Ось называют осью данной поверхности. Сечение поверхности плоскостью , представляет собой эллипс , где .

Сечения эллиптического параболоида плоскостями и являются параболами и .

5. Конус: .

Отметим, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, я начало координат – центром симметрии конуса. Сечение конуса плоскостью представляет собой эллипс: с полуосями и .

При пересечении конуса плоскостями и получаются пары пересекающихся прямых

и , соответственно, проходящих через начало координат.

Цилиндрические поверхности

6. Эллиптический цилиндр: . Как видно из уравнения, плоскости и являются плоскостями симметрии данного цилиндра. Сечение поверхности плоскостью представляет собой эллипс . Сечения цилиндра плоскостями и являются парами параллельных прямых и соответственно.

7. Гиперболический цилиндр: .

8. Параболический цилиндр .

9. Гиперболический параболоид

. Из уравнения вытекает, что плоскости и являются плоскостями симметрии. Ось называется осью гиперболического параболоида с плоскостью представляет собой гиперболы , с полуосями , при , а при – сопряжённые гиперболы для гипербол с полуосями , .

Заметим, что плоскость пересекает поверхность по двум прямым , являющихся асимптотами вышеуказанных гипербол. Сечения плоскостями и являются параболами и соответственно.