Векторное произведение в ДПСК

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Рассмотрим векторы и в ДПСК . Для базисных векторов , , имеем: , , , или

Тогда в силу линейности векторного произведения

.

Итак, . Для запоминания последней формулы удобно использовать псевдоопределитель:

.

Раскрывая этот «определитель», стоящий в правой части, по элементам первой строки, получим разложение вектора по базису .

Пример. Дан . На сторонах треугольника выбраны соответственно точки так, чтобы , , . При каком площадь треугольника наименьшая?

Решение:

Пусть , . Тогда , . Поэтому Минимум этого выражения достигается при , т. е. в случае, когда - медианы . Этот минимум равен .

п. 11 Произведения тройки векторов

п. 11.1 Смешанное произведение векторов

Определение 1. Смешанным произведением векторов , , называется скалярное произведение одного из них с векторным произведением двух оставшихся .

Замечание. Геометрический смысл смешанного произведения. Рассмотрим произвольную тройку некомпланарных векторов , , , приведённых к общему началу. Тогда модуль смешанного произведения векторов , , равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах. Действительно,

, где , . Заметим, что если тройка векторов , , – правая, то , если , , – левая, то .

Свойства смешанного произведения

1. Ассоциативность: .

Доказательство:

Очевидно, что , так как каждая часть равенства выражает объём параллелепипеда, построенного на векторах , , . Заметим, что обе тройки , , и , , правые, значит
в силу коммутативности скалярного произведения. ■

2. Правило циклической перестановки:

.

Доказательство:

Модули всех этих смешанных произведений равны. Первые три смешанных произведения имеют одну ориентацию, последние три – другую. ■

3. Линейность по каждому аргументу:

,

,

.

Поскольку и скалярные, и векторные произведения однородны и дистрибутивны, т.е. линейны, то и смешанное произведение линейно по всем трем векторам. ■

Теорема 1. Критерий компланарности векторов

Векторы , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение .

Доказательство:

Пусть векторы , , .

Необходимость. Путь векторы , компланарны.

По определению они лежат в одной или параллельных плоскостях. Совмести их начала, тогда все три вектора лежат в одной плоскости, отсюда . Следовательно, .

Достаточность. Пусть . Тогда либо , либо . Если , то векторы и коллинеарные, следовательно, векторы , , - компланарны.

Если , то вектор лежит в той же плоскости, что векторы и , т.е. , , - компланарны. ■

Смешанное произведение в ДПСК

Рассмотрим векторы , , в ДПСК . Тогда, учитывая, что

,

получаем .

Пример. При каком векторы , , будут компланарны?

Решение:

Воспользуемся критерием компланарности. Векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда . Вычислим определитель и решим уравнение относительно : ; .

Пример. Даны векторы , , трёх рёбер тетраэдра , выходящих из вершины . Найти вектор высоты тетраэдра, опущенной из вершины на плоскость .

Решение:

Вектор ортогонален плоскости , т.е. коллинеарен вектору

. Следовательно, существует такое число , что . Вектор компланарен векторам и . Тогда найдутся такие числа и , что . Получаем для , . Умножим обе части равенства скалярно на и получим: , т.е. . Таким образом,

.

п. 11.2 Двойное векторное произведение
векторов

Определение 1. Двойным векторным произведением векторов , , называют вектор , равный векторному произведению одного из векторов тройки на векторное произведение оставшихся .

Замечание. Мнемоническое правило для запоминания: .

Теорема1. .

Доказательство:

Из определения векторного произведения вектор ортогонален плоскости . Вектор ортогонален плоскости, в которой лежат вектора и , т.е. лежит в плоскости . Таким образом, вектор можно разложить по базису (в силу неколлинеарности векторов и ): . Умножим последнее равенство скалярно на вектор , получим . Так как векторы и ортогональны, то , т.е. .

Итак, , учитывая коммутативность скалярного произведения. Покажем, что . Введём ДПСК так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда . Рассмотрим произведение , ; , ;

, .

Сравнивая последнее равенство со следующим , получаем . ■

п. 12 Основные задачи векторной алгебры

Определение 1. Геометрическим местом точек (ГМТ) на плоскости или в пространстве называется множество точек, обладающих заданным свойством, причём никакие другие точки этим свойством не обладают.

Определение 2. Уравнение называется уравнением соответствующего ГМТ относительно заданной системы координат, если при подстановке координат точек в уравнение ГМТ получается верное равенство.

п. 12.1 Плоскость в пространстве

Характеристика:

Любая плоскость задаётся своей нормалью (вектором, ортогональным данной плоскости) и точкой , лежащей на этой плоскости.

Базовая задача:

Возьмём произвольную точку . Вектор лежит на плоскости . Так как , то . Тогда . Раскрывая скобки, получим . Обозначим . Тогда уравнение называют общим уравнением плоскости.

Существуют и другие уравнения плоскости:

1. Уравнение плоскости в векторной форме: , где – нормальный вектор данной плоскости, – радиус-вектор точки .

2. Нормальное уравнение плоскости. Так как , то , где: – направляющие косинусы нормального вектора , направленного из начала координат в сторону плоскости;

– расстояние от начала координат до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости получается путём умножения общего уравнения на нормирующий множитель , где , (signum - знак).

3. Уравнение плоскости в отрезках: , где – величины отрезков, которые отсекает плоскость на осях , , соответственно.

Основные задачи

1. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть точки , , раз личные и не лежат на одной прямой. Выберем произвольную точку так, чтобы три вектора были компланарны. Используем критерий компланарности трёх векторов. Тогда уравнение является уравнением искомой плоскости .

2. Угол между двумя плоскостями.

Определение 1. Пусть две плоскости и заданы общими уравнениями и . Под углом между двумя плоскостями и будем понимать угол между нормалями к этим плоскостям. Тогда:

.

Условие перпендикулярности плоскостей и : .

Условие параллельности плоскостей и : коллинеарные, т.е. .

3. Расстояние от точки до плоскости.

Если плоскость задана нормальным уравнением , то отклонением точки от плоскости называют . Знак указывает на взаимное расположение точки на плоскости и начала координат, а именно:

а) если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости , то ,

б) если и начало координат находятся по одну сторону от плоскости , то .

4. Расстояние от точки до плоскости определяется равенством .

Итак, .

п. 12.2 Прямая на плоскости

Характеристики:

· нормальный вектор и точка;

· направляющий вектор и точка.

Базовые задачи:

1. Если на плоскости задана некоторая система координат, то прямую можно провести через точку перпендикулярно вектору , называемого

нормалью к данной прямой. Тогда, выбрав произвольную точку так, чтобы векторы и были перпендикулярны, получим уравнение прямой :

, .

Обозначим через . Тогда уравнение называется общим уравнением прямой .

2. Проведём прямую через точку параллельно вектору , который называют направляющим вектором прямой . Выберем произвольную точку так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда – каноническое уравнение прямой.

Из последнего уравнения также можно получить общее уравнение прямой , заметив, что векторы и перпендикулярны, причём , .

Другие уравнения прямой:

1. Теперь проведём прямую через точки и . Выберем произвольную точку так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда уравнение задаёт прямую , проходящую через точки и .

2. Преобразуем последнее равенство:

; . Тогда уравнение также задаёт прямую , где:

- угловой коэффициент, причём ( - угол наклона прямой к оси );

- свободный коэффициент, равный длине отрезка, отсекаемого прямой от оси .

Аналогично п. 12.1 можно получить нормальное уравнение прямой и уравнение данной прямой в отрезках.

Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые и заданы общими или каноническим уравнениями. Тогда угол между прямыми можно найти следующим образом:

, .

Если же прямая задана в виде , где и - угловые коэффициенты прямых и соответственно, то:

(формула тангенса разности двух углов).

Условие перпендикулярности:

1) ;

2) ;

3) .

Условие параллельности:

1) ;

2) ;

3) .

Расстояние от точки до прямой

Аналогично п. 12.1 расстояние от точки до прямой определяется равенством , где .

Итак, .

п. 12.3 Прямая в пространстве

Характеристики: направляющий вектор и точка.

Базовая задача:

Проведём прямую через точку , параллельно данному направляющему вектору . Выберем для этого произвольную точку , лежащую на прямой . Тогда векторы и коллинеарные. Следовательно, .

Последние равенства называют каноническим уравнением прямой. Из канонического задания прямой можно получить параметрические уравнения прямой: .

Прямую в пространстве можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и .

Перейдём к каноническому заданию прямой . Для этого надо задать направляющий вектор и точку , через которую проходит данная прямая. Заметим, что вектор (в силу определения векторного произведения). При общем рас положении данных плоскостей они пересекут какую-либо из координатных плоскостей, например, , . Тогда

- точка пересечения плоскостей и . Эта точка будет лежать и на прямой . В силу неоднородности выбора точки обратная задача не ставится.

Угол между прямыми

Заметим, что угол между двумя прямыми можно определить только в том случае, если эти прямые лежат в одном плоскости.

Рассмотрим две прямые и , произвольно расположенные в пространстве:

.

Тогда для того, чтобы прямые и лежали в одной плоскости, необходимо, чтобы векторы , и были компланарными. В силу критерия компланарности должно выполняться равенство . Тогда угол между прямыми и определяется как угол между соответствующими направляющими векторами: .

В частности, прямые и :

· параллельны, если ;

· перпендикулярны, если .

Если же смешанное произведение , то прямые и называются скрещивающимися.

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость

.

п.13 Линии второго порядка

п.13.1 Эллипс

Всякий знает, что такое кривая, пока не вы-
учится математике настолько, что в конец
запутается в бесчисленных исключениях.

Ф. Клейн

Определение 1. Эллипсом называется линия на плоскости, если найдётся такая ДПСК-2 (декартова прямоугольная система координат), в которой уравнение примет вид . и называют полуосями эллипса (для определённости ), – линейным эксцентриситетом, точки и – фокусами, а ось – фокальной осью. Величину , называемую эксцентриситетом эллипса, можно рассматривать как меру его вытянутости: чем больше , тем меньше отношение . Прямые , задаваемые , называют директрисами эллипса.

Свойства эллипса

1. Фокальное свойство: эллипс ­– это ГМТ (геометрическое место точек), сумма расстояний которых до фокусов постоянна и равна .

Доказательство:

Рассмотрим и . Покажем, что .

Найдём и . Тогда ;

; ; ; . Разделим обе части равенства на , получим . ■

2. Директориальное свойства: эллипс – ГМТ (геометрическое место точек), отношение расстояний от которых до фокусов и до соответствующих директрис равно .

Доказательство:

Обозначим через расстояние от точки до директрисы . Покажем, что .

Пусть . Тогда ; . Так как , то , ;

;

. ■

3. Оптическое свойство: эллипс – ГМТ (геометрическое место точек), касательные в которых образуют равные острые углы с фокальными радиусами и , т.е. .

Другими словами, лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус .

Касательная в любой точке эллипса образует с фокальными радиусами острые одинаковые углы. Это свойство называется оптическим, т.к. все лучи, выходящие из одного фокуса, после отражения оказывается в другом (так как угол падения равен углу отражения).

Доказательство:

1. Получим сначала уравнение касательной к эллипсу в любой точке эллипса. Из уравнения эллипса , т.е. , если , и , если . Тогда и в том и в другом случае , .

Таким образом, уравнение касательной к кривой в данном случае имеет вид . Умножив это уравнение на , раскрыв скобки и учтя, что –получим уравнение касательной к эллипсу.

2. Найдём уравнение от точки до касательной. Это расстояние , где .

.

Но из директориального свойства фокальный радиус . Таким образом, . Тогда .

Проделав аналогичные выкладки, получим, что , т.е. .

п. 13.2 Гипербола

Определение 1. Гиперболой называется линия на плоскости, если найдётся такая ДПСК-2 (декартова прямоугольная система координат), в которой её уравнение примет вид .

и – полуоси, , – фокусы, линейный эксцентриситет, ось – фокальная ось, – эксцентриситет, причём характеризует величину раствора угла между асимптотами гиперболы . Прямые : являются директрисами гиперболы.