1 2 3 4 / 6 4 5 6

Теорема 2. О делении отрезка в данном отношении

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Пусть в ДПСК-3 задан отрезок , т.е. , . Тогда точка , такая, что , имеет координаты .

Доказательство:

Пусть точки и - начало координат. Тогда , , , где и - радиус-векторы точек.

Получим, что . Так как , то или . ■

п. 6 Свойства проекций

Определение 1. Осью называется прямая с выбранным на ней направлением.

Определение 2. Геометрической проекцией вектора называется вектор , где и – ортогональные проекции точек А и В на ось .

рис. 2.18

Определение 3 Алгебраической проекцией вектора на ось называется число, равное длине , взятое со знаком “ ”, если , и со знаком “-”, если . Обозначается Пр_l .

Теорема1. .

Доказательство:

Так как , то . С другой стороны, = . ■

Теорема 2. .

Доказательство:

Пусть . Перенесём вектор так, что его начало находилось на прямой . Тогда треугольники и подобны. Если , а , то . Отсюда .

рис. 2.20

Так как , то . Значит, .

Если же , то треугольники и так же подобны. Но . ■

рис. 2.21

Теорема 3. , где – угол между вектором и положительным направлением оси .

Доказательство:

рис. 2.22

1. Угол – острый, тогда очевидно, что , т.е. .

2. Угол – тупой. Так как , , то . ■

п. 7 Скалярное произведение векторов

Определение 1. Скалярным произведением векторов и называется операция (результат операции), ставящая в соответствии упорядоченной паре векторов и скаляр, равный произведению длин векторов на косинус угла между ними. .

Замечание. Из определения скалярного произведения, следует, что .

Замечание. Заметим, что . Если взять вектор такой, что , то . Таким образом, скалярное произведение одного вектора на другой, имеющий единичную длину, равно проекции первого вектора на направление, определяемое вторым. В этом заключается геометрический смысл скалярного произведения.

Замечание. Механический смысл скалярного произведения. Если рассмотреть действия силы на материальную точку при её перемещении по вектору , то работа , совершаемая этой силой равна: .

Свойства скалярного произведения:

1. Коммутативность: .

Доказательство: . ■

2. Унитарность: , причём тогда и только тогда, когда .

Доказательство: . ■

3. Однородность: .

Доказательство: . ■

4. Дистрибутивность: .

Доказательство:
. ■

Замечание. « однородность + дистрибутивность = линейность».

Теорема1. Критерий ортогональности

Пусть векторы и . Тогда тогда и только тогда, когда .

Пример. В треугольнике медиана перпендикулярна биссектри се , причём . Найти угол .

Решение:

Обозначим , , и . Тогда . Выразим .

Известно, что биссектриса угла делит противолежащую сторону в отношении, равном отношении длин прилежащих сторон. Таким образом, . По условию, , т.е.
.

Так как , , то . (В этом можно было убедиться и геометрически: по условию задачи, в биссектриса является и высотой, а значит, – равнобедренный, т.е. ).

Таким образом, , . Следовательно, . Отсюда находим .

п. 8 Скалярное произведение в ДПСК

Рассмотрим векторы и в ДПСК . Из определения скалярного произведения для базисных векторов имеем: , или


1	0	0
0	1	0
0	0	1

Тогда

Итак, . Заметим, что . Тогда , а также .

Наличие обратной операции

Пусть даны вектор и скалярное произведение . Можно ли найти вектор ?

Как было показано, . Все векторы лежат на конусе, осью которого является носитель вектор (прямая, на которой лежит вектор), т.е. таких векторов бесконечно много.

Таким образом, обратная операция не определена.

п. 9 Орт вектора. Направляющие косинусы вектора

Определение 1. Косинусы углов, которые вектор образует с базисными , , , называются направляющими косинусами вектора . Обозначают , , .

Определение 2. Ортом вектора называется вектор , имеющий единичную длину и тоже направление, что и вектор : .

Покажем, что координатами орта вектора являются его направляющие косинусы.

Пусть . Рассмотрим . С другой стороны, . Следовательно, . Аналогично можно показать, что , . Заметим, что .

п. 10 Векторное произведение векторов

Определение 1. Рассмотрим некоторую произвольную тройку некомпланарных векторов , , , приведённых к точке . Тройка векторов , , называется правой, если для неё выполняется правило буравчика: глядя с конца вектора и , можно увидеть, что кратчайший поворот от к происходит против часовой стрелки.

Определение 2. Векторным произведением векторов называется операция (ре зультат операции), которая любой упорядоченной паре векторов и ставит в соответствие вектор , обладающий следующими свойствами:

1) ;

2) вектор ортогонален каждому

из и ;

3) , , – правая тройка;

4) если и - коллинеарные, то = .

Замечание. Геометрический смысл векторного произведения двух векто ров и состоит в том, что модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Замечание. Механический смысл векторного произведения. Если вектор изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор

идёт из некоторой точки О в точку М, то вектор представляет собой момент силы относительно точки О.

Свойства векторного произведения:

1. Антикоммутативность: .

Доказательство:

Положим , . По определению векторы и имеют одинаковую длину. Также в силу того, что оба вектора и ортогональны к плоскости, определяемой векторами и , вектор коллинеарен вектору . Тогда либо , либо . Если бы имело место первое равенство, то по определению, обе тройки , , и , , оказались бы правыми, но это невозможно. Итак, . ■

2. Однородность: .

Доказательство:

Положим , . Пусть векторы и не коллинеарные и . Обозначим и . По определению , .

Возможны два случая:


Рис. 2.30

В обоих случаях , тогда . Далее, заметим, что векторы и коллинеарные. Остаётся проверить, что эти векторы имеют одинаковое направление.

Пусть , тогда векторы , а значит и векторы . Итак, . ■

3. Дистрибутивность:

Доказательство:

Для доказательства приведём две леммы.

Лемма 1. Векторное произведение произвольного вектора плоскости на единичный вектор , ортогональный плоскости , поворачивает вектор на угол по часовой стрелке, если смотреть с конца вектор .

Доказательство:

По определению , причём вектор ортогонален векторам и , значит, он лежит на плоскости . Тройка векторов , , правая, следовательно, поворот от вектора к вектору совершается на по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора . ■

Лемма 2. Векторное произведение произвольного вектора на единичный вектор равно , где – геометрическая проекция вектора на плоскость , ортогональную вектору .

Доказательство:

По определению векторного произведения векторы . Рассмотрим их модули: ;

. По условию . ■

Теперь вернёмся к доказательству дистрибутивности . Для простоты рассмотрим вместо вектора его орт . Пусть векторы , , некомпланарные. Обозначим , – геометрические проекции векторов на плоскость ортогональному вектору . Тогда по лемме 2 имеем , причём вектор получен поворотом вектора на угол по часовой стрелке (по лемме 1).