Теорема1. Критерий линейной зависимости
Для того чтобы система векторов 
была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы существовали действительные числа 
, не равные нулю одновременно, такие, что 
. (1)
( 
,…, 
– система линейно зависима) 
.
Доказательство:
Необходимость. Пусть система линейно зависима. Тогда по определению хотя бы один из векторов системы, например, 
, можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов: 
. Прибавим к обеим частям равенства – , получим: 
.
Положим 
, 
, не все 
равны нулю одновременно, причем выполняется равенство (1).
Достаточность. Пусть существуют 
, 
такие, что 
. Среди чисел , по крайней мере, одно не равно нулю, например, 
. Тогда получим 
, что означает по определению линейную зависимость векторов ,…, . ■
Теорема 2. Критерий линейной независимости
Для того, чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы равенство (1) влекло за собой равенство нулю всех 
.
Доказательство:
Необходимость. Пусть ,…, линейно независимы. Предположим противное, т.е. что имеет место (1) и из него не следует 
. Тогда 
, а . По теореме 1 система ,…, линейно зависима, что противоречит условию.
Достаточность. Пусть равенство (1) влечет . Предположим, противное, т.е. ,…, линейно зависимые. Тогда по теореме 1 найдутся 
такие, что , что противоречит условию. ■
Пример. Доказать, что:
а) векторы 
и 
линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарные;
б) векторы , , 
линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Доказательство:
а) Пусть 
. Если 
, то 
и коллинеарность 
и влечет линейную зависимость и .
Если 
и коллинеарные, то согласно признаку коллинеарности, существует такое 
, что 
, т.е. 
, 
, и линейная зависимость и очевидна.
б) Пусть , и компланарны. Если векторы и коллинеарные, то из доказанного следует 
при некоторых 
и 
таких, что 
. Но тогда 
, причем 
, т.е. , , линейно зависимы.
Пусть теперь компланарные векторы , , таковы, что и не коллинеарные. Тогда вектор можно разложить по базису 
: 
. Отсюда 
, причём 
, т.е. , , линейно зависимы.
п. 5 Линейные операции над векторами
в координатной форме
Пусть 
– некоторая аффинная система координат в пространстве.
Теорема 1. Пусть векторы 
и 
. Тогда:
1. 
;
2. 
Доказательство:
1. Рассмотрим векторы и : 
, 
. Тогда сумма векторов и : 
.
2. 
. ■