1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 / 13 12 13

Дифференциальные уравнения

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

7.1. Построение общего решения

Пусть неизвестная функция зависит от двух или более переменных. Уравнение вида

(1)

называется уравнением в частных производных первого порядка.

Функция , обращающая в нуль тождественно по при подстановке вместо функции и вместо производных , называется решением уравнения (1). Решение уравнения (1) в мерном пространстве задает некоторую гладкую поверхность размерности (гиперповерхность), которая называется интегральной поверхностью уравнения (1).

Линейным дифференциальным уравнением с частными производными первого порядка называется уравнение вида

(2)

По способу нахождения общего решения различают два вида уравнений (2). Если в уравнении (2) и все функции зависят только от независимых переменных , то его называют линейным однородным уравнением с частными производными первого порядка. В противном случае, уравнение (2) называют линейным неоднородным уравнением с частными производными первого порядка или квазилинейным уравнением.

Рассмотрим уравнение первого типа:

(3)

Предположим, что функции изменяются в некоторой области и в этой области непрерывно дифференцируемы. Кроме того, предположим, что в области . Наряду с уравнением (3), рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме

. (4)

Эту систему уравнений можно записать в виде нормальной системы из уравнений

(5)

Пусть система уравнений (5) имеет независимых первых интегралов. Справедлива следующая

Теорема 1. Функция является решением линейного однородного уравнения (3) тогда и только тогда, когда она является первым интегралом системы уравнений (5).

Пусть

независимые первые интегралы системы уравнений (5). Тогда

где любая функция, непрерывно дифференцируемая по , будет общим решением уравнения (3).

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Уравнение характеристик:

имеет первый интеграл , а общее решение данного уравнения имеет вид

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Решение. Составим систему уравнений в симметрической форме:

Эти уравнения имеют два независимых интеграла

Тогда общее решение имеет вид

Пример 3. Найти общее решение уравнения

Решение. Составим систему уравнений

Пользуясь свойством пропорции, имеем

Отсюда или .

Находим второй интеграл. Для этого перепишем данное уравнение в виде

Отсюда

или .

Интегрируя, получим второй интеграл .

Общее решение имеет вид

Теперь рассмотрим второй тип уравнения, т.е. уравнение вида (2). Уравнения характеристик запишутся так:

. (6)

Пусть эта система уравнений имеет независимых первых интегралов

Тогда общее решение уравнения (2) записывают так:

где произвольная функция, непрерывно дифференцируемая по .

Пример 4. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем систему уравнений

Из этой системы

Тогда первыми интегралами системы будут выражения

Общее решение имеет вид

Чтобы найти поверхность , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

(7)

и проходящую через линию

, (8)

необходимо найти два независимых интеграла . В эти интегралы нужно подставить выражения (8) через параметр . Получим два выражения: . Исключим из этих функций и получим соотношение . Подставив сюда вместо левые части интегралов, получим искомое решение.