1 2 3 4 5 6 7 8 / 13 8 9 10 11 12 13

Общее решение имеет вид

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 7

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Пример 4. Найти общее решение системы

Решение. Характеристическое уравнение

имеет корни . Найдем собственный вектор, соответствующий корню :

Отсюда ,

Найдем собственный вектор, соответствующий корню :

, .

Так как ранг матрицы равен 1, то третий собственный вектор находится так же, как , но надо выбрать его так, чтобы . Мы примем

, .

Тогда общее решение имеет вид

Пример 5. Найти решение задачи Коши

Решение. Запишем матрицу системы

Характеристическое уравнение

имеет корни . Для каждого корня (собственного значения матрицы ) составим систему уравнений , решив которую, найдем собственный вектор.

В случае система для определения имеет вид

Из этой системы находим: , и, полагая , получаем собственный вектор .

В случае соответствующая система имеет вид

Из этой системы находим: .

Запишем общее решение

Используя начальные условия, получаем систему

из которой находим Следовательно, решение рассматриваемой задачи Коши имеет вид

Пример 6. Найти общий интеграл системы

Решение. Построим две интегрируемые комбинации, пользуясь свойством ряда равных отношений. Умножим в системе числители и знаменатели дробей соответственно на и сложим числители и знаменатели полученных дробей.

Тогда

откуда

Теперь умножим в данной системе числители и знаменатели дробей соответственно на и сложим числители и знаменатели полученных дробей

следовательно,

При этом очевидно, что полученные первые интегралы независимы, так что их совокупность образует общий интеграл исходной системы.

6.2. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами

Пусть даны система уравнений (1), фундаментальная матрица системы уравнений (2), решение системы уравнений (1).

Теорема 2. Общее решение системы уравнений (1) имеет вид

где постоянный вектор-столбец.

Пусть матрица постоянная матрица. Тогда для нахождения частного решения существует два метода: метод Лагранжа (этот метод применим и в общем случае) и метод неопределенных коэффициентов.

Метод Лагранжа

Пусть фундаментальная матрица системы уравнений (2) найдена. Тогда ищем в виде

где неизвестный вектор находится из системы уравнений

, т.е. .

Метод неопределенных коэффициентов

Пусть , где константа, вектор, каждый элемент которого есть многочлен порядка не выше . Тогда частное решение ищем в виде

где есть многочлен порядка не выше ; , если не совпадает с корнем характеристического уравнения; , если является кратным корнем, при этом равно кратности этого корня. Коэффициенты многочлена находятся путем сравнения коэффициентов при подобных членах.

Аналогично находится частное решение , если

при этом для определения сравнивают число с корнями характеристического уравнения.

Пример 7. Решить систему

Решение. Общее решение однородной системы уравнений имеет вид

Так как , то частное решение ищем так:

Подставляя и в систему уравнений и сравнивая коэффициенты, имеем

Общее решение имеет вид

Пример 8.Найти общее решение системы

Решение. Общее решение однородной системы уравнений представим так:

Число . Поэтому ищем частное решение в виде

Подставив и в левую и правую части системы уравнений, найдем постоянные . Общее решение имеет вид

Пример 9. Найти общее решение системы:

Решение. Найдем фундаментальную матрицу:

ищем в виде

Тогда

Решая эту систему и интегрируя, найдем

Подставляя результаты в вектор , получим

Поэтому функции

будут общим решением исходной системы.

Пример 10. Найти общее решение системы

Решение. Собственные числа матрицы

равны , а фундаментальная матрица имеет вид

Частное решение ищем в виде

. (*)

Для определения получим систему

Решая эту систему и интегрируя, найдем

, .

Подставляя в (*), получим частное решение

Следовательно, общее решение запишется в следующем виде

Пример 11. Найти общее решение системы

Решение. Собственные числа линейной однородной системы равны . Собственные векторы, отвечающие этим собственным числам, равны соответственно

Тогда частные решения ищем в виде

Подставляя в исходную систему, получим

Решая эту систему, находим

Проинтегрировав, имеем

Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид

6.3. Устойчивость по Ляпунову

Дана вектор-функция , непрерывно дифференцируемая Рассмотрим систему уравнений в векторной записи

(4)

Решение системы (4) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого существует такое что для всякого решения той же системы, начальное значение которого удовлетворяет неравенству

(*)

при всех выполняется неравенство

Если же для некоторого такого не существует, то решение называется неустойчивым.

Решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, все решения с достаточно близкими начальными условиями неограниченно приближаются к при т.е. если из неравенства (*) следует

Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора

Теорема 3. Если все собственные числа матрицы системы (4) имеют отрицательные вещественные части, то решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Теорема 4. Если хотя бы одно из собственных чисел матрицы системы (4) имеет положительную вещественную часть, то решение неустойчиво.

Пример 12. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы

Решение. Находим собственные значения матрицы коэффициентов

При оба корня положительны, а при один корень положителен, значит, в этих случаях нулевое решение неустойчиво.

При корни вещественны, отрицательны, значит, нулевое решение асимптотически устойчиво.

При вопрос об устойчивости не решается с помощью теорем 3 и 4.

Устойчивость или неустойчивость решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами

исследуется проще и определяется собственными числами матрицы .

Теорема 5. Решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами тогда и только тогда являются:

1. устойчивыми, когда действительные части собственных чисел матрицы системы неположительные, причем числам с нулевой действительной частью соответствуют одномерные клетки Жордана в жордановой форме матрицы, т.е. таким числам соответствуют простые элементарные делители;

2. асимптотически устойчивыми, когда действительные части собственных чисел матрицы системы отрицательны;

3. неустойчивыми, когда хотя бы одному собственному числу с нулевой действительной частью соответствует неодномерная клетка Жордана (такому числу соответствует непростой элементарный делитель), либо когда среди собственных чисел матрицы системы имеется хотя бы одно число с положительной действительной частью.

Замечание. Решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.

Пример 13. Исследовать на устойчивость решения системы уравнений

Решение. Собственные числа матрицы данной системы определяем из уравнения

Эти числа действительные и положительные, значит все решения системы неустойчивы.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

, (5)

в которой - постоянная матрица, - непрерывная по и непрерывно дифференцируемая по функция, удовлетворяющая условию

(6)

равномерно по . Система уравнений с постоянными коэффициентами

называется системой первого приближения для системы (5).

Теорема 6. Если действительные части всех собственных чисел матрицы отрицательны, а функция удовлетворяет равенству (6), то нулевое решение системы уравнений (5) асимптотически устойчиво. Если же среди собственных чисел матрицы имеется хотя бы одно число с положительной действительной частью, то нулевое решение системы уравнений (5) неустойчиво.

Если же среди собственных чисел матрицы имеется хотя бы одно с нулевой действительной частью, а остальные – с отрицательной, то нулевое решение системы уравнений (5) может быть как устойчивым (асимптотически устойчивым), так и неустойчивым, т.е. в этом случае из устойчивости решений системы первого приближения нельзя делать вывод об устойчивости тривиального решения полной системы уравнений.

Пример 14. С помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы

Решение. Запишем систему первого приближения

и соответствующее им характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения действительны и отрицательны, таким образом, нулевое решение исходной системы асимптотически устойчиво.

Пример 15. С помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы

Решение. Учитывая разложения

запишем систему первого приближения и составим характеристическое уравнение

, ,

корни которого равны , . Следовательно, по теореме Ляпунова нулевое решение неустойчиво.

6.4. Особые точки на плоскости

Рассмотрим задачу о расположении траекторий (т.е. проекций на плоскости графиков решений ) системы

(7)

где непрерывно дифференцируемые функции в окрестности состояний равновесия, т.е. в точках, где . Пусть точка есть состояние равновесия. Для исследования этой точки представим систему (7) в виде

(8)

Рассмотрим случай, когда система (8) является линейной однородной, т. е. имеет вид

(9)

Все возможные картины расположения траекторий получаются неособыми линейными преобразованиями плоскости. Пусть собственные числа матрицы . Если корни вещественные, различные и одного знака, то особая точка – узел; если разных знаков – седло; если корни комплексные , то особая точка – фокус, а если , то – центр. Если корни равные и ненулевые, то различают два случая:

1. ; 2. .

В первом случае, особую точку называют вырожденным узлом, а во втором случае – дикритическим узлом.

Полная классификация всех возможных случаев приведена в таблице.

Чтобы начертить траектории системы (9) в случае узла, седла и вырожденного узла, надо прежде всего найти те решения, которые изображаются прямыми, проходящими через особую точку. Эти прямые всегда направлены вдоль собственных векторов матрицы . В случае узла кривые касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине значению .

Направление движения точки по всем траекториям при возрастании определяется в случае узлов и фокуса знаком : если , то движение к точке . В случае седла направление движения точки по траекториям, лежащим на одной из прямых, проходящих через начало координат, - к точке , а на другой – от точки .

Для любой точки скорость ее движения по траектории вычисляется подстановкой в правую часть системы (9):

Корни характеристического уравнения

Название особой точки

Фазовый портрет

– вещественные, различные и одного знака

Узел

– вещественные, различные и разных знаков

Седло

Фокус

Центр

Вырожденный узел

Дикритический узел

Теперь предположим, что в системе (8) и для некоторого при , где . Если вещественные части всех корней характеристического уравнения отличны от нуля, то особая точка системы (8) будет того же типа, что и особая точка системы (9). Заметим, что угловые коэффициенты направлений траекторий, входящих в особую точку, для систем (8) и (9) одни и те же, а в случае фокуса – направление закручивания одно и то же. В том случае, когда для системы (9) особая точка – центр, для системы (8) она будет либо фокусом, либо центром, либо центрофокусом. В этом случае требуется дополнительное исследование системы (8).

Если же точка , где , есть состояние равновесия, то эту систему приводим к виду

(10)

где

Расположение траекторий системы (10) совпадает топологически с расположением траекторий соответствующей линейной системы в окрестности точки , если .

В примерах 17-18 исследовать особую точку данных систем.

Пример 17.

Решение. Составим характеристическое уравнение

Корни вещественные, различные и одного знака. Следовательно, - узел, причем неустойчивый, т.к. . Для находим собственный вектор , а для – вектор . На плоскости строим прямые, направленные вдоль этих векторов: и . Каждая из этих прямых содержит три фазовые кривые: состояние равновесия и две полупрямые, на которые разделяется прямая точкой . Остальные фазовые кривые касаются при подходе к точке прямой , т.к. (рис. 1).

Рис. 1

Пример 18.

Решение. Собственные числа матрицы равны . Следовательно, особая точка – седло. Для находим собственный вектор , а для вектор .

На прямой исходная система имеет вид:

Значит, вдоль прямой фазовая точка движется по закону: , т.е. движение точки с ростом времени происходит по направлению к началу координат.

Аналогично находим, что вдоль прямой фазовая точка движется согласно системе уравнений

т.е. по закону . По этой прямой движение происходит в направлении от начала координат.

Схематически траектории исходной системы изображены на рис.2.

Рис. 2

Пример 19.

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Корни вещественные и равные, следовательно, вырожденный узел, причем неустойчивый. Для находим собственный вектор . Остальные фазовые кривые строятся с помощью изоклин (рис.3).

Рис. 3

Пример 20.

Решение. Находим корни характеристического уравнения:

Особая точка – фокус. Строим в точке вектор скорости

Следовательно, возрастанию соответствует движение по траекториям по часовой стрелке. Так как вещественная часть корней характеристического уравнения равна , то особая точка асимптотически устойчива, следовательно, при возрастании решения неограниченно приближаются к особой точке (рис. 4).

Пример 21. Найти и исследовать особые точки системы

Решение. Найдем состояние равновесия из системы уравнений

или

Рис. 4

Система имеет четыре особые точки: . Для исследования этих особых точек надо перенести начало координат в исследуемую особую точку и разложить правые части уравнений по формуле Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка:

Рассмотрим точку . Наша система примет вид

Характеристическое уравнение

Оно имеет корни . Следовательно, особая точка – асимптотически устойчивый узел.

В точке имеем систему

Характеристическое уравнение имеет корни . Отсюда следует, что особая точка – седло.

В точке для системы

характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, особая точка – седло.

Аналогично получим для точки систему

Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому особая точка – асимптотически устойчивый фокус.

6.5. Функции Ляпунова

Рассмотрим функцию , непрерывно дифференцируемую в некоторой области , включающей в себя начало координат.

Функция называется определенно положительной в , если в , причем лишь при .

Функция называется определенно отрицательной в , если в , причем лишь при .

Функция называется знакопостоянной, если или при , (причем, в первом случае функция может также названа знакоположительной, а во втором – знакоотрицательной).

Пример 22. Функция определенно положительна в области .

Пример 23. Функция знакоположительна, т.к. и обращается в нуль при .

Пример 24. Функция будет определенно положительной, если .

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

, (11)

где вектор-функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в области , содержащей точку вместе с ее некоторой окрестностью, и .

Теорема 7 (теорема Ляпунова об устойчивости). Если для системы (11) в области существует знакоопределенная функция , производная которой , взятая в силу системы (11), является знакопостоянной функцией, знака, противоположного знака функции (или ), то нулевое решение устойчиво.

Теорема 8 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если для системы в области (11) существует знакоопределенная функция V , производная которой , взятая в силу системы (11), является знакоопределенной функцией, знака, противоположного с , то нулевое решение асимптотически устойчиво.

Теорема 9 (теорема Ляпунова о неустойчивости). Если существует функция , имеющая знакоопределенную производную , и такая, что функция не является знакопостоянной, знака, противоположного знаку , то нулевое решение системы (11) неустойчиво.

Теорема 10 (теорема Ляпунова о неустойчивости). Если существует функция такая, что ее производная по времени имеет вид

где – положительная постоянная, а является знакопостоянной функцией, при этом может принимать значения того же знака, что и в точках при , то нулевое решение системы (11) неустойчиво.