1 2 3 4 5 6 / 8 6 7 8

Cтационарные случайные процессы

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Случайный процесс X(t) , -¥< t < +¥ , называется стационарным в узком

смысле ( или строго стационарным ) , если распределение вероятностей любых случайных величин X(t₁), X(t₂), ... , X(t_n) такое же как и случайных величин X(t₁+t), X(t₂ + t), ... , X(t_n + t), имеющих сдвиг по времени на постоянную величину t , -¥< t< +¥ . Если, например, X(t) случайная функция непрерывного типа, то условие стогой стационарности имеет вид

f (x₁, ... , x_n; t₁, ... ,t_n) = f (x₁ , ... , x_n; t₁ + t, ... ,t_n + t ) . (29)

Случайный процесс X(t), для которого M [X(t)]² < +¥ , называется стационарным в широком смысле, если его среднее значение и дисперсия не зависят от времени, а ковариационная функция K_x(t₁,t₂) зависит лишь от разности t₂ - t₁ :

M[X(t)] = m = const ;

D [X(t)] = s² = const ; (30)

K_x(t₁,t₂) = K_x(t) ; t = t₂ - t₁ .

Для нормальных случайных процессов оба понятия стационарности совпадают.

Автоковариационная функция стационарного в широком смысле процесса

обладает следующими свойствами:

1) K_x(t) = K_x(-t) ;

2) ½ K_x(t) ½ £ K_x(0) = D[X(t)]; (31)

3) Функция K_x(t) неотрицательно определена.

Если стационарная в широком смысле случайная функция X(t) является дифференцируемой и y(t) = dX(t) / dt , то y(t) - также стационарная в широком смысле случайная функция, для которой

M[y(t)] = 0; K_y(t) = - d²K_x(t) / dt² ; D[y(t)] = K_y(0). (32)

Эргодические случайные процессы

Случайный процесс будем называть эргодическим , если любая его вероятностная характеристика, полученная усреднением по множеству реализаций, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равна временно′му среднему, полученному усреднением за достаточно большой промежуток времени одной единственной реализации случайного процесса. Из эквивалентности двух способов усреднений по множеству и по времени следует, что для эргодического с.п. нет необходимости изучать большую совокупность реализаций , которой исследователь, как правило, не располагает, а достаточно одной реализации, наблюдаемой в течение длительного промежутка времени. Другими словами, эргодическое свойство состоит в том, что любая реализация стационарного с.п. является полным представителем всей совокупности реализаций стационарного с.п.

В большинстве случаев на практике интересуются не всеми, а только отдельными характеристиками процесса ( математическим ожиданием, ковариационной функцией и одномерной функцией распределения или плотностью вероятностей).

В связи с этим можно ввести понятие временны′х характеристик реализаций с.п.

Пусть реализация X^(k)(t) случайного процесса наблюдается в течение промежутка времени 2Т; -Т < t < Т .

Временны′м средним или средним по времени от реализации стационарного с.п. называется числовая характеристика, определяемая выражением

1 _T

<X^(k)(t)> = lim ¾ ò X^(k)(t) dt , (33)

^T^®^¥ 2T ^-^T

которую можно трактовать как постоянную составляющую этой реализации.

Средним по времени квадратом от реализации стационарного с.п. называется числовая характеристика, определяемая выражением

1 _Т

<[X^(k)(t)]²> = lim ¾ ò [X^(k)(t)]² dt . (34)

^T^®^¥ 2T ^-^T

Если реализация X^(k)(t) представляет изменение напряжения или тока на единичной нагрузке, то средний во времени квадрат равен средней мощности данной реализации.

Временно′й ковариационной (автоковариационной) функцией реализации X^(k)(t) , будем называть действительную величину, определяемую выражением

1 _T

< X^(k)(t) X^(k)(t+t) > = lim ¾ ò [X^(k)(t)-m_x][ X^(k)(t+t)-m_x] dt . (35)

^T^®^¥ 2T ^-^T

Временно′й взаимной ковариационной функцией реализаций X^(k)(t) и У^(k)(t)

будем называть величину, определяемую выражением

1 _T

< X^(k)(t) У^(k)(t+t) > = lim ¾ ò [X^(k)(t)-m_x][ У^(k)(t+t)-m_у] dt . (36)

^T^®^¥ 2T ^-^T

Пример 7. Пусть случайный процесс X(t) задан как неслучайная величина

X(t) = b. Найти его характеристики; определить, является ли этот

процесс стационарным и обладает ли он свойством эргодичности?

Решение. Найдем M[X(t)] = a; D_x(t) = K_x(t,t) = 0. Следовательно (30)

случайный процесс X(t) является стационарным и, кроме этого, он

будет и эргодическим. ð

Пример 8. Случайный процесс задан в виде X(t) = u, где u - случайная

величина.

Найти его характеристики. Определить является ли этот процесс

стационарным и обладает ли он свойством эргодичности ?

Решение. Найдем M[X(t)] = m_u ; K_x(t₁,t₂) = M[(u-m_u)²] = D(u) =D_u .

Следовательно случайный процесс X(t) - стационарен, и, так как

lim K_x(t) = D_u ¹ 0 , то он не обладает эргодическим свойством. ð

^τ^®^¥

Пример 9. Случайный процесс X(t) представляет случайную телеграфную

волну которая образуется следующим образом. На оси 0t имеется

простейший (пуассоновский) поток событий с интенсивностью l.

Случайный процесс X(t) попеременно с равной вероятностью

принимает два значения -1 и +1. Одна из возможных реализаций

такого с.п. приведена на рис. 15. Найти характеристики с.п. X(t) .

рис. 15

Решение. Закон распределения с.п. X(t) имеет вид

ê -1 ê +1 ê

X(t) : ¾¾¾¾¾¾

ê 1/2 ê 1/2 ê .

Найдем M[X(t)] = (-1)× 1/2 + (+ 1)× 1/2 = 0

D[X(t)] = (-1)²× 1/2 + (+ 1)²× 1/2 = 1.

Зафиксируем произвольные моменты времени t₁ и t₂ и будем искать ковариационную функцию в виде

K_x(t₁,t₂) = M[(X(t₁) - m_x) (X(t₂) - m_x)] = M[X(t₁) X(t₂)] .

Здесь произведение X(t₁) X(t₂) может принимать только два значения:

+1, если за интервал времени (t₁, t₂) произошло четное число перемен знака у телеграфной волны, и -1 , если за интервал (t₁, t₂) число перемен знака было нечетным. Найдем вероятность того, что на интервале t = t₂ - t₁ (t > 0) произошло четное число перемен знака

P(n = 2k) = P[ X(t₁)X(t₂) = +1] = =