Каноническое разложение случайных процессов.

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 10

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Каноническим разложением случайного процесса Х(t) называется выражение вида

_¥

Х(t) = m_x (t) + å u _k× j _k (t) , ( 21 )

^k=1

где m _x (t) - математическое ожидание с.п.; u₁, u₂, ... , u_k, ... - некоррелированные, центрированные случайные величины с дисперсиями D₁, D₂, ... , D_k, ... ;

j₁ (t), j₂ (t), ... , j_k (t), ... - неслучайные функции аргумента t . Число членов в разложении ( 21 ) может быть как конечным так и бесконечным.

Такое представление случайных процессов было впервые предложено в конце 50 - х годов В.С. Пугачевым и оно позволяет довольно просто проводить анализ преобразований (линейных , нелинейных) случайных процессов.

Пусть с.п. Х(t) задан представлением ( 21 ). Найдем его характеристики:

- математическое ожидание Х(t)

_¥

М [ Х(t) ] = m _x (t) + å M( u_k )× j_k (t) = m _x (t), т.к. M(u_k) = 0; (22)

^{k = 1}

- корреляционная функция Х(t)

К_х(t₁, t₂) = М[Х(t₁) Х(t₂) ] = M[(Х(t₁) - m_x(t₁)) (Х(t₂) - m_x(t₂))] =

¥ ¥ ¥ ¥

= M[ å u_k×j_k (t₁) × å u_n×j_n (t₂) ] = M [ å å u_k u_n j_k(t₁) j_n(t₂) ] =

^{k=1 n = 1 k = 1 n = 1}

¥ ¥ ¥ ¥

= å å M(u_k ×u_n) j_k(t₁) j_n(t₂) = å å j_k(t₁) j_n(t₂) D_k , (23)

^{k=1 n=1 k =1 n =1}

здесь M ( u_k u_n ) =0 при k ¹ n и M (u_k u_n) = D_k при k = n.

Выражение (23) называется каноническим разложением корреляционной функции с.п. Х(t). В частности при t₁ = t₂ = t получаем

_¥

K_x (t) = å j_k² (t) D_k . ( 25 )

^k=1

Это выражение называется каноническим разложением дисперсии с.п. Х(t).

Операции анализа над случайными функциями

К операциям математического анализа относятся интегрирование и дифференцирование случайных процессов. Указанные операции математического анализа опираются на понятие сходимости и предела, поэтому определяя операции анализа над случайными функциями приходится неизбежно сталкиваться с пределами последовательностей случайных величин. Это позволяет построить совершенную элементарную теорию дифференцирования и интегрирования случайных функций, дающую удобные практические методы исследования в рамках корреляционной теории случайных функций (процессов) .

Не вдаваясь в математические аспекты операций дифференцирования и интегрирования случайных функций остановимся только на том, как числовые характеристики случайного процесса Х( t ) связаны с числовыми характеристиками его производной У( t) = dХ( t) / dt и интеграла

_t

Z(t) = ò X(s) ds.

⁰

Если для случайного процесса Х( t ) его числовые характеристики будут

M _Х (t) = m _х (t) , К _Х (t₁, t ₂) и D _Х (t), то характеристики с.п. У( t) будут связаны с характеристиками с.п. X (t) следующим образом

M [ У (t) ] = d m _x (t)/ dt,

K _У (t ₁, t₂) = ¶² K_x (t₁, t₂)/ ¶t₁ ¶t₂,

D[ У (t) ] = K _У (t , t).

Числовые характеристики случайного процесса Z(t) соотносятся с характеристиками с.п. X (t) таким образом

_t

M [ Z (t) ] = ò m _x (s) ds,

⁰

t₁ t₂

K _z (t ₁, t ₂) = ò ò K _x (s ₁, s ₂) ds ₁ ds ₂ ,

^{0 0}

D[ Z (t) ] = K _Z (t , t).

Пример 4. Случайный процесс задан элементарной функцией У = Х× t + a, где

Х - равномерно распределенная на отрезке [ c,d ] случайная

величина; а - неслучайная величина. Найти характеристики

производной с.п.

Решение: На основании определений найдем М [y(t)] = m_x t + a ;

K_y (t₁, t₂ ) = s_x² t₁× t₂. Далее по формуле (25,26) найдем

m_{y ¢}(t) = m_x = const;

K _{y ¢} (t₁, t₂) = ¶² (s_x² t₁ t₂) /¶t₁ ¶t₂= s_x² = const ;

D [y¢(t)] = lim K _{y ¢} (t₁,t₂) = s_x² .

t₁®t₂

Пример 5 . Случайный процесс X(t) задан каноническим разложением

X(t) = 1 + u×t + v×t² с характеристиками D_u = 3; D_v = 1.

Найти математическое ожидание и ковариационную функцию

производной данного процесса.

Решение. По определению канонического разложения имеем M_x(t) = 1.

Обозначим Z(t) = dX(t)/dt. Тогда M [ dX(t)/ dt ] = dM_x(t) / dt = 0 ,

К_z (t₁,t₂) = ¶ ² K_x (t₁,t₂) /¶t₁ ¶t₂. Найдем К_х (t₁,t₂) = M [ X⁰(t₁) X⁰(t₂)] =

= { X⁰(t) = ut + vt² - центрированный с.п. }= M[(ut + vt²)(ut + vt²)] =

= t₁t₂M(u²) + (t₁t₂² + t₁²t₂)M(uv) = (t₁t₂)²M(v²) = 3t₁t₂ + (t₁t₂)² ,

т.к. M(u²) = D_u = 3 ; M(v²) = D_v = 1 ; M(uv) = 0.

¶ ¶

Тогда K_z(t₁,t₂) = ¶² [3t₁t₂ + (t₁t₂)² ] / ¶t₁ ¶t₂ = 3 + 4t₁t₂ .

Пример 6. В условиях примера 5 найти математическое ожидание и дисперсию

_t

процесса Z(t) = ò X(s) ds.

⁰

_{t t}

Решение. По определению (28) найдем М[Z(t)] = ò M_z(s)ds = ò 1× ds = t ;

^{0 0}

^t₁ ^t₂

K_z(t₁,t₂) = ò ds₁ ò (3s₁s₂ + s₁² s₂²) ds₂ = 3 (t₁t₂)² /4 + (t₁t₂)³ / 9.

^{0 0}

Дисперсию с.п. Z(t) найдем как

D[Y(t)] = lim K_y(t₁,t₂) = 3 t⁴ /4 + t⁶ /9.

^t₁®^t₂