1 2 / 3 2 3

Методы приближенного решения уравнений. Метод последовательного поиска

Дата: 2025-05-25; Просмотры: 2

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Решаем приближенно уравнение F(x)=0 на отрезке [a,b] с точностью e. Пусть F(x) – непрерывная функция и на отрезке [a,b] выполняется достаточное условие существования корня . Если , то проверяем, какой из концов отрезка является корнем, в противном случае можно применить алгоритм последовательного поиска.

x=a; Fa=F(a);

do x=x+e; while F(x)*Fa>0;

Корнем объявляется x.

Методы приближенного решения уравнений. Метод вилки

Другое название метода – метод деления отрезка пополам. Решаем приближенно уравнение F(x)=0 на отрезке [a,b] с точностью e. Пусть F(x) – непрерывная функция и на отрезке [a,b] выполняется достаточное условие существования корня . Если , то проверяем, какой из концов отрезка является корнем, в противном случае можно применить алгоритм деления отрезка пополам.

Суть алгоритма заключается в следующем. Из условия задачи мы уже имеем решение задачи с точностью (в качестве решения можно взять любую точку отрезка [a,b], например точку a). Обозначим c=(a+b)/2 – середина отрезка [a,b], тогда возможны три варианта: либо F(c)=0 (тогда c – точное решение, в этом случае задача решена!), либо (тогда существует корень на отрезке [a,c], следовательно, мы имеем решение задачи с точностью ), либо, наконец, (тогда существует корень на отрезке [c,b], следовательно, мы получим решение задачи с точностью ).

Таким образом, алгоритм деления отрезка пополам позволяет за один шаг в два раза сократить область поиска решения уравнения. Применяя этот алгоритм раз, получаем решение уравнения с точностью e.

Методы приближенного решения уравнений. Метод простых итераций

Пусть – непрерывная и дифференцируемая (гладкая) функция. Требуется решить на с точностью уравнение . Заменим исходное уравнение на эквивалентное (то есть полученное из исходного применением инвариантных преобразований)

где . Обозначим левую часть нового соотношения , тогда уравнение будет выглядеть так: . Такая форма записи уравнения представляет собой итерационное соотношение. Возьмем наугад любое число из интервала – x₀. С помощью итерационного соотношения можно получить последовательность чисел x₁=Ф(x₀); x₂=Ф(x₁); x₃=Ф(x₂) … и т.д. Последовательность может сходиться или расходиться. Если процесс сходится, то, очевидно, предельное значение последовательности является решением уравнения. Если полученное решение принадлежит отрезку , то это искомое решение.