Предмет «Вычислительная математика»

Дата: 2025-05-25; Просмотры: 5

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Лекция 1

Литература

1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. –М.: Наука, 1986.

2. Бахвалов Н. С. Численные методы. 3-е изд. –М, 2003.

3. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — 2-е изд. –М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

4. А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. Вычислительные методы для инженеров. Учеб. пособие. –М.: Высш. Шк., 1994. – 544 с.: ил.

5. Мышенков В.И., Мышенков Е.В. Численные методы. Часть первая: Учебное пособие для студентов специальности 0101.07. – М.:МГУЛ,2001. – 120 с.: ил.

6. Мышенков В.И., Мышенков Е.В. Численные методы. Ч. 2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие для студентов специальности 073000. – М.:МГУЛ, 2005. – 109 с.: ил.

7. А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. М.: «Наука», 1989.

8. И.С.Березин, Н.П.Жидков. Методы вычислений. Том 1. М., 1959.

9. Л.И.Турчак. Основы численных методов. М.: «Наука», 1987.

Содержание курса

· Предмет «Вычислительная математика»

· Математическое моделирование

· Представление чисел в ЭВМ

· Приближенные вычисления

· Методы решения уравнений

· Решение систем линейных алгебраических уравнений

· Табулирование, интерполяция, экстраполяция

· Аппроксимация экспериментальных данных

· Численное дифференцирование

· Численное решения обыкновенных дифференциальных уравнений

· Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных

· Задачи вычислительной гидродинамики

· Другие задачи вычислительной математики

Предмет «Вычислительная математика»

Прикладная математика – область математики, рассматривающая применение математических методов и алгоритмов в других областях науки и практики.

· Вычислительная математика (численные методы)

· Дискретная математика (комбинаторика, конечная математика)

· Теория алгоритмов (скалярные, параллельные, распределённые и облачные вычисления)

· Теория приближённых вычислений

· Математическая физика (механика сплошных сред)

· Математическое программирование (линейное программирование)

· Оптимизация

· Теория массового обслуживания

· Исследование операций (теория игр)

· Теория информации (информатика, криптография, защита информации)

· Теория вероятностей и математическая статистика

· Экономическая математика (финансовая математика)

· Биоматематика (биоинформатика)

· И др.

Вычислительная математика – раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством разнообразных вычислений. В более узком понимании вычислительная математика – теория численных методов решения типовых математических задач. Современная вычислительная математика включает в круг своих проблем изучение особенностей вычисления с применением компьютеров.

Математическое моделирование

Объект исследования - это реальный объект, поведение или свойства которого изучаются методами математического моделирования. На первом этапе изучения (рис.1.) объект исследования заменяется некоторым абстрактным объектом, называемым расчетной схемой.

Расчетная схема сохраняет все элементы и свойства реального объекта, которые по мнению исследователя (разработчика математической модели) являются существенными и качественно определяют взаимосвязи между элементами реального объекта.

Математическая модель количественно описывает взаимосвязи между отдельными элементами расчетной схемы. При разрешении математических соотношений используют различные методы - точные или приближенные.

Алгоритм - это предписание, указывающее на то, какие именно действия и в какой последовательности следует выполнять при разрешении математических соотношений с использованием данного метода.

Реализация - процесс получения конкретных результатов на основе данной математической модели с использованием данного метода по данному алгоритму. Как правило, полученный результат не является конечной целью исследования.

Дальнейшие наблюдения за объектом, сопоставление полученных на основе данной математической модели характеристик свойств и поведения объекта, возрастающие потребности в точности данных и т.п., заставляют исследователя вернуться к началу исследовательского цикла и повторить весь процесс (уточнение расчетной схемы, построение математической модели, выбор метода и алгоритма, реализация).

Рис. 1.

Пример 1

Модель поверхности крышки стола

1. Плоскость прямоугольной формы

2. Плоскость, ограниченная четырехугольником

3. Поверхность, ограниченная четырехугольником

4. А закругленные края?

Пример 2

Объект исследования.

Движение тела, брошенного со скоростью v₀ под углом к поверхности Земли.

Расчетная схема.

Движение тела характеризуется зависимостью вертикальной (y) и горизонтальной (x) координатами от времени (t)

Рис. 1. Расчетная схема

Математическая модель.

Горизонтальная составляющая скорости постоянна .

.

можно получить из системы

Модель полна и непротиворечива.

Решение задачи получается аналитически.

, (1)

. (2)

Реализация.

Момент падения тела на поверхность Земли определяется из квадратного уравнения

,

.

С помощью формул (1) и (2) можно определить положение тела в любой момент в диапазоне времени полета.

Анализ.

Учесть, например, сопротивление воздуха.

g - ускорение силы тяжести - параметр модели,

t - модельное время,

- входные данные,

- выходные данные.

В данной формулировке это прямая задача.

Обратная задача - по траектории определить .

Задача идентификации - по известной траектории и известным параметрам определить g (на какой планете бросали тело?).

Статическая модель (Пример 1), динамическая модель (Пример 2)

Имитационная модель - функционирование объекта воспроизводится в соответствии с течением модельного времени.

Вычислительный эксперимент.