Векторы в пространстве и действия над ними
Дата: 2025-06-14; Просмотры: 1
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Пусть точка А – начало вектора, а точка B – его конец, тогда вектор обозначается символом  или  . Вектор  называется противоположным вектору и может быть обозначен - .
Сформулируем ряд базовых определений.
Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается  . Вектор нулевой длины (его суть - точка) называется нулевым  и направления не имеет. Вектор  единичной длины, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора .
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, записывают  . Коллинеарные векторы могут иметь совпадающие или противоположные направления. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.
Векторы называются равными  , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат 0xyz. Выделим на осях координат 0x , 0y , 0z единичные векторы (орты) и обозначим их через  соответственно. Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат. Спроектируем вектор на координатные оси и обозначим проекции через ax , ay , az соответственно. Тогда нетрудно показать, что
 . (1)
Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ax , ay , az называются координатами вектора . Таким образом, координаты вектора являются его проекциями на оси координат. Векторное равенство (1) часто записывают в виде  или  . Мы будем использовать обозначение вектора в фигурных скобках, чтобы визуально легче различать координаты вектора и координаты точки. С использованием формулы длины отрезка, известной из школьной геометрии, можно найти выражение для вычисления модуля вектора :  (2),то есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Обозначим углы между вектором и осями координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются для вектора направляющими, и для них выполняется соотношение: cos2α+cos2β+cos2γ=1. Верность данного равенства можно показать с помощью свойства проекции вектора на ось.
Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы ={x1; y1; z1},  ={x2; y2; z2},  ={x3; y3; z3} своими координатами. Имеют место следующие операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).
1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то есть если  , то ={x3; y3; z3}={x3; y3; z3}+{x3; y3; z3}={x1+х2; y1+у2; z1+z2}.
Данная формула имеет место для произвольного конечного числа слагаемых.
Геометрически два вектора складываются по двум правилам:
а) правило треугольника – результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого вектора; для суммы векторов – результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с концом предыдущего;
б) правило параллелограмма (для двух векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах, приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой векторов.
2. Вычитание двух векторов производится покоординатно, аналогично сложению, то есть если  , то ={x3; y3; z3}={x3; y3; z3} - {x3; y3; z3}={x1 - х2; y1 - ; z1 - z2}.
Геометрически два вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.
Важным следствием вычитания векторов является тот факт, что если известны координаты начала и конца вектора, то для вычисления координат вектора необходимо из координат его конца вычесть координаты его начала. Действительно, любой вектор пространства может быть представлен в виде разности двух векторов, исходящих из начала координат:  . Координаты векторов  и  совпадают с координатами точек А и В, так как начало координат О(0;0;0). Таким образом, по правилу вычитания векторов следует произвести вычитание координат точки А из координат точки В.
3. Умножение вектора на число λ покоординатно:  .
При λ>0 – вектор  сонаправлен ; λ<0 – вектор противоположно направлен ; |λ|>1 – длина вектора увеличивается в λ раз; |λ|<1 – длина вектора уменьшается в λ раз.
4. Пусть в пространстве задана направленная прямая (ось l), вектор  задан координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l соответственно через A ’ и B ’.
Проекцией пр l вектора на ось l называется длина вектора  , взятая со знаком «+», если вектор и ось l сонаправлены, и со знаком «–», если и l противоположно направлены.
Если в качестве оси l взять некоторый другой вектор , то получим проекцию вектора на вектор .
Рассмотрим некоторые основные свойства проекций:
1) проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть пр l =| |.cosφ;
2.) проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой;
3) проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.
Сформулируем определения и теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над векторами.
5. Скалярным произведением . векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть . =| |.| |.cosφ. (3)
Очевидно, что скалярный квадрат любого ненулевого вектора равен квадрату его длины, так как в этом случае угол φ = 0, поэтому его косинус (в 3) равен 1.
Теорема. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть  .
Теорема. Скалярное произведение двух векторов ={x1; y1; z1}, ={x2; y2; z2}, заданных своими координатами, равно сумме произведений их одноименных координат, то есть . =x1.x2+y1.y2+z1.z2. (4)
С помощью скалярного произведения векторов можно вычислить угол между ними. Если заданы два ненулевых вектора своими координатами ={x1; y1; z1}, ={x2; y2; z2}, то косинус угла φ между ними:
 , то есть  . (5)
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и : x1.x2+y1.y2+z1.z2=0. (6)
Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором , может осуществляться по формуле
пр   , то есть пр  . (7)
Пример. С помощью скалярного произведения векторов найти угол при вершине A параллелограмма ABCD, построенного на векторах 
Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение:
Отсюда согласно формуле (5) получим косинус искомого угла
|