Понятие дифференциала функции
Пусть функция у=f(х) имеет в точке х отличную от нуля производную
. Тогда, по теореме о связи функции, ее предела
и бесконечно малой функции, можно записать 
при 
или 
+ 
.
Таким образом, приращение функции 
у представляет собой сумму
двух слагаемых ‚ 
(х) 
и 
, являющихся бесконечно малыми при
Поэтому первое слагаемое ‚ 
называют главной частью приращения функции 
Дифференциалом функции –y= 
(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df (х)):
dy= 
(24.1)
Дифференциал dy называют также дифференцалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у = х.
Так как 
= 
= 1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy= dx = 
т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx= 
Поэтому формулу (24.1) можно записать так:
dy= 
(24.2)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этаой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (24.2) следует равенство 
= (х). Теперь обозначение
Производной 
можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dx.
Пример 24.1. Найти дифференциал функции
f 
.
Решение: По формуле dy= 
находим
dy= 
.
Пример 24.2. Найти диферинциал функции.
Y= 
.
Вычислить dy при х = 0, dx=0,1..
Решение:
dy= 
Подставив x=0 и dх = 0,1, получим
dy 
= 
Геометрический смысл дифференциала функции
Выясним геометрический смысл дифференциала,
для этого проведем к графику функции у = f(х)
в точке М(х;у) касательную МТ и рассмотрим
ординату этой касательной для точки x+
(см. рис. 138)
. На рисунке АМ = х, АM 
= у. Из прямоугольного
треугольника М АВ имеем: -
tg 
т. е. 
= tg .
Но, согласно геометрическому смыслу
производной, tg 
(х). Поэтому АВ =
= (х) 
.
Сравнивая полученный результат с
формулой (24.1), получаем dу = АВ, т. е. дифференциал функции у =f(х) в тючке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этои точке, когда х получит приращение х.
В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.
Применение дифференциала к приближенным вычисления
Как уже известно, приращение у функции у f(х) в точке х можно представить в виде у = 
(х) 
х + , где 
при х 
,или у = dy+ . Отбрасьювая бесконечно малую 
х более высокого порядка, чем х,- получаем приближенное равенство
y 
причем это равенство тем точнее, чем меньше x