Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
 |
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
Профильный уровень
Вариант № 1
Инструкция по выполнению работы
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 4 задания повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов №1.
Ответ:–15,5 _ .
При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов №2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручек.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха!
Справочные материалы
Часть 1.
1. Бегун пробежал 189 метров за 28 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.
Ответ:.
2. В ходе химической реакции масса исходного вещества (реагента), которое ещё не вступило в реакцию, постепенно уменьшается. На графике показана зависимость массы реагента от времени. На горизонтальной оси отмечено время, прошедшее с начала реакции, в минутах, на вертикальной оси — масса реагента, который ещё не вступил в реакцию, в граммах.
Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реакцию за первые 3 минуты.
Ответ:.
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 
изображена окружность и вписанный в неё острый угол. Найдите градусную меру данного угла. Ответ дайте в градусах.
Ответ:.
4. Из множества натуральных чисел от 60 до 84 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 5?
Ответ:.
5. Решите уравнение 
.
Ответ:.
6. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника равен 
, найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна 25.
 |
Ответ:.
7. На рисунке изображён график 
– производной функции 
, определённой на интервале 
. В какой точке отрезка 
функция принимает наименьшее значение?
Ответ:.
8. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 
и образует с плоскостью этой грани угол 
. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ:.
Часть 2.
9. Найдите 
, если 
.
Ответ:.
10. Двигаясь со скоростью 
м/с, трактор тащит сани с силой 
кН, направленной под острым углом 
к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле 
. Найдите, при каком угле (в градусах) эта мощность будет равна 
кВт (кВт – это кН 
м/с).
Ответ:.
11. Плиточник должен уложить 280 м2 плитки. Если он будет укладывать на 9 м2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 7 дней раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
Ответ:.
12. Найдите точку максимума функции 
.
Ответ:.
| Для записи решений и ответов на задания 13 - 19 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и ответ. |
13. а) Решите уравнение: 
.
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку 
.
14. Дана правильная четырехугольная пирамида 
. Через вершину основания, точку 
, проведена плоскость , перпендикулярная прямой 
и пересекающая боковые рёбра 
, и 
в точках 
, 
и 
соответственно.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой 
.
б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды, если известно, что 
, 
.
15. Решите неравенство:
16. В прямоугольнике 
длины сторон 
и 
относятся как 
. На отрезке как на диаметре построена окружность, которая пересекает диагонали и 
в точках 
и соответственно.
а) Докажите, что прямые 
и параллельны.
б) Найдите площадь четырехугольника 
, если 
.
17. Борис Петрович пользуется банковским вкладом на следующих условиях: ежегодно 16 марта банк начисляет 10% на остаток и добавляет их к сумме вклада, 17 марта Борис Петрович может пополнить вклад на любую сумму или снять любую сумму с вклада, вплоть до полного его закрытия.
1 марта 2020 года сумма вклада Бориса Петровича составляла 210 тыс. рублей. Борис Петрович планирует следующие операции по вкладу:
– 17 марта 2020 года и 17 марта 2021 года пополнить вклад на некоторую сумму 
тыс. рублей;
– 17 марта 2022 года и 17 марта 2023 года снять с вклада по 242 тыс. рублей, причем последняя операция должна закрыть вклад.
Найдите .
18. Найдите все такие значения параметра 
, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно два различных действительных корня.
19. Юля любит все натуральные числа, которые делятся на 22, но не делятся на 6. А Гоше нравятся только те натуральные числа, цифры в десятичной записи которых не повторяются.
а) Существует ли число, которое нравится и Юле, и Гоше, и десятичная запись которого состоит из 2 цифр?
б) Существует ли число, которое нравится и Юле, и Гоше, и десятичная запись которого состоит из 5 цифр?
в) Из какого наибольшего количества цифр может состоять десятичная запись числа, которое нравится и Гоше, и Юле?