Если показателем степени является дробь с четным знаменателем , то степень с отрицательным основанием не определяется.

Дата: 2025-06-14; Просмотры: 6

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

10. 10. 2022 г. 10 класс. Алгебра.

План-конспект урока на тему:

«Степень с рациональным показателем»

(10 класс)

Цели урока:

1. Образовательная - актуализировать субъектный опыт учащихся (опорные знания и способы действий, комплекс знаний), необходимый для изучения нового материала; организовывать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению знаний и способов действий.

2. Развивающая - развивать умения применять знания на практике, способствовать развитию логического мышления, воли и самостоятельности, развитие умений учебного труда (умение работать в темпе).

3. Воспитательная - создавать условия для воспитания интереса к изучаемой теме, воспитания мотивов учения, положительного отношения к знаниям, воспитания дисциплинированности, обеспечивать условия успешной работы в коллективе.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления знаний и способов действий.

Объяснение учебного материала.

Понятие степени

Здесь символом подчеркивается, что равенство (1) особое: это равенство-определение, и поэтому не требует обоснования в отличие, например, от равенства .

Определение-равенство (1) осмысленное только для тех натуральных значений показателя , которые не меньше 2, так как умножение есть двуместное действие. Поэтому натуральная степень требует особого определения, но такого, при котором сохраняются свойства натуральной степени, в частности, свойство . С учетом этого должно быть: . Вместе с этим . Поэтому первую степень целесообразно определить так:

Так же, поскольку и вместе с этим , то нулевую степень целесообразно определить так:

Обратив внимание, например, на то, что и вместе с этим приходим к выводу, что отрицательную целую степень , где — натуральное число, целесообразно определить так:

При этом, если в равенствах (1) и (2) основание может иметь любое действительное значение, то в равенствах (3) и (4) это значение должно быть отличным от нуля.

Рациональную степень с положительным основанием введем из следующих соображений. Для целых показателей и выполняется свойство . Желательно, чтобы оно выполнялось и для дробных показателей. В таком случае будет . Но равенство означает, что число должно быть корнем -й степени из числа :

Примеры:

С учетом определения (5) получим:

а)

б)

в)

Из определения степени с рациональным показателем следует, что при любом положительном значении основания а и любом рациональном значении показателя число является положительным.

Поскольку, с учетом свойств корня, , то значение рациональной степени а' не зависит от того, какой дробью из множества равных дробей представлен рациональный показатель .

Если показателем степени является дробь с нечетным знаменателем , определение (5) распространяется и на отрицательные значения основания .

Пример:

Если показателем степени является дробь с четным знаменателем , то степень с отрицательным основанием не определяется.

Степень положительного числа с иррациональным показателем определяется так.

Пусть . Для числа выпишем последовательности

его десятичных приближений по недостатку и по избытку соответственно. Тогда

Из этих неравенств с учетом того, что если и , то , получим:

Оценим разность . Получим:

Если значение переменной неограниченно увеличивается, то значение выражения стремится к нулю, значение выражения — к единице, а значение выражения , а потому и выражения — к нулю. Это означает, что значения выражений и приближаются друг к другу. Можно доказать, что есть только одно число , для которого при всех . Оно и принимается в качестве значения иррациональной степени .

, где и — рациональные приближения иррационального числа по недостатку и по избытку соответственно.

Так же определяется иррациональная степень для . При этом для любого действительного показателя

Отметим, что если действительный показатель больше нуля, то имеет смысл и при , именно:

Пример:

Рассмотрим иррациональную степень . Учитывая, что

получим:

Поэтому

или

Вычисление на калькуляторе для числа дает:

Для степени с действительным показателем верны известные вам основные свойства степени:

если , то выражение имеет значение при любом значении переменной ; (10)
если , то при любом значении переменной ; (11)
если , то при и при ; (12)
если , то при и при ; (13)
если и , то ; (14)
если и , то . (15)

Докажем, например, что при любом иррациональном значении переменной .

Если = 1, то .

Пусть , — иррациональное число, и — рациональные приближения к по недостатку и избытку: . Из определения иррациональной степени следует, что , а поскольку , то и .

Если , то так же получим, что .

Понятием степени с натуральным показателем пользовались уже в Древней Греции. Об этом свидетельствуют термины квадрат числа и куб числа, известные с тех времен. Современные обозначения натуральной степени ввел в 1637 г. французский математик Рене Декарт. Французский математик Николя Орем (около 1323—1382) уже пользовался дробными показателями. Отрицательные и нулевой показатели ввел в обиход французский математик Николя Шюке (около 1445 — около 1500). Нидерландский ученый и инженер Симон Стевин (1548—1620) обратил внимание на то, что целесообразно понимать как . Знак для обозначения корня впервые использовал в 1525 г. чешский математик Криштян Рудольф (около 1500 — около 1545), а современный символ с горизонтальной чертой сверху ввел Декарт.